Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4316
2019-07-31 
Точки $K$ и $P$ симметричны основанию $H$ высоты $BH$ треугольника $ABC$ относительно его сторон $AB$ и $BC$. Докажите, что точки пересечения отрезка $KP$ со сторонами $AB$ и $BC$ (или их продолжениями) - основания высот треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $E$ - точка пересечения $KP$ и $AB$. Точки $K$, $H$ и $P$ лежат на окружности с центром в точке $B$.
Пусть $\angle HBP=\beta$. Тогда
$\angle HKP=\frac{\beta}{2},~\angle HEP=2\angle HKP=\beta=\angle HBP.$
Точки $H$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $BC$, а т.к. $\angle HEP=\angle HBP$, то точка $E$ также принадлежит этой окружности. Следовательно, $\angle BEC=90^{\circ}$, т.е. $CE$ - высота треугольника $ABC$.
Точки $K$ и $P$ симметричны основанию $H$ высоты $BH$ треугольника $ABC$ относительно его сторон $AB$ и $BC$. Докажите, что точки пересечения отрезка $KP$ со сторонами $AB$ и $BC$ (или их продолжениями) - основания высот треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $E$ - точка пересечения $KP$ и $AB$. Точки $K$, $H$ и $P$ лежат на окружности с центром в точке $B$.
Пусть $\angle HBP=\beta$. Тогда
$\angle HKP=\frac{\beta}{2},~\angle HEP=2\angle HKP=\beta=\angle HBP.$
Точки $H$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $BC$, а т.к. $\angle HEP=\angle HBP$, то точка $E$ также принадлежит этой окружности. Следовательно, $\angle BEC=90^{\circ}$, т.е. $CE$ - высота треугольника $ABC$.
