Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4315
2019-07-31 
Окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Секущая, проходящая через точку $A$, пересекает эти окружности вторично в точках $M$ и $N$. Касательные к окружностям $S_{1}$ и $S_{2}$ в точке $A$ пересекаются прямыми $BN$ и $BM$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $MN$ параллельны.
Решение:
Обозначим $\angle MNB=\alpha$, $\angle NMB=\beta$. Пусть точка $Q$ принадлежит отрезку $MB$, а $P$ - отрезку $NB$. Тогда
$\angle QAB=\angle MNB=\alpha,~\angle PAB=\angle NMB=\beta.$
Поэтому
$\angle QAP=\alpha+\beta,~\angle MBN=180^{\circ}-\alpha-\beta.$
Значит, $APBQ$ - вписанный четырёхугольник. Тогда
$\angle QPB=\angle QAB=\alpha.$
Следовательно, $PQ\parallel MN$.
Окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Секущая, проходящая через точку $A$, пересекает эти окружности вторично в точках $M$ и $N$. Касательные к окружностям $S_{1}$ и $S_{2}$ в точке $A$ пересекаются прямыми $BN$ и $BM$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $MN$ параллельны.
Решение:
Обозначим $\angle MNB=\alpha$, $\angle NMB=\beta$. Пусть точка $Q$ принадлежит отрезку $MB$, а $P$ - отрезку $NB$. Тогда
$\angle QAB=\angle MNB=\alpha,~\angle PAB=\angle NMB=\beta.$
Поэтому
$\angle QAP=\alpha+\beta,~\angle MBN=180^{\circ}-\alpha-\beta.$
Значит, $APBQ$ - вписанный четырёхугольник. Тогда
$\angle QPB=\angle QAB=\alpha.$
Следовательно, $PQ\parallel MN$.
