Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4314
2019-07-31 
Докажите, что площадь описанного многоугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
Решение:
Соединим центр $O$ вписанной окружности радиуса $r$ $n$-угольника $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ с вершинами многоугольника. Тогда
$S_{A_{1}A_{2}\dots A_{n}}=S_{\Delta A_{1}OA_{2}}+S_{\Delta A_{2}OA_{3}}+\dots+S_{\Delta A_{n}OA_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}A_{2}\cdot r+\frac{1}{2}A_{2}A_{3}\cdot r+\dots+\frac{1}{2}A_{n}A_{1}\cdot r=\frac{A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+\dots+A_{n}A_{1}}{2}\cdot r=pr,$
где $p$ - полупериметр $n$-угольника.
Докажите, что площадь описанного многоугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
Решение:
Соединим центр $O$ вписанной окружности радиуса $r$ $n$-угольника $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ с вершинами многоугольника. Тогда
$S_{A_{1}A_{2}\dots A_{n}}=S_{\Delta A_{1}OA_{2}}+S_{\Delta A_{2}OA_{3}}+\dots+S_{\Delta A_{n}OA_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}A_{2}\cdot r+\frac{1}{2}A_{2}A_{3}\cdot r+\dots+\frac{1}{2}A_{n}A_{1}\cdot r=\frac{A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+\dots+A_{n}A_{1}}{2}\cdot r=pr,$
где $p$ - полупериметр $n$-угольника.
