Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4312
2019-07-31 
Дан угол, равный $\alpha$. На его биссектрисе взята точка $K$; $P$ и $M$ - проекции $K$ на стороны угла. На отрезке $PM$ взята точка $A$ такая, что $KA=a$. Прямая, проходящая через $A$ перпендикулярно $KA$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите площадь треугольника $BKC$.
Решение:
Заметим, что
$\angle PMK=\angle MPK=\frac{\alpha}{2}.$
Поскольку отрезок $CK$ виден из точек $A$ и $M$ под прямым углом, то точки $C$, $A$, $K$ и $M$ лежат на одной окружности. Поэтому
$\angle ACK=\angle AMK=\frac{\alpha}{2}.$
Аналогично
$\angle ABK=\angle APK=\frac{\alpha}{2}.$
Из прямоугольного треугольника $ACK$ находим, что
$AC=AKctg\angle ACK=actg\frac{\alpha}{2}.$
Следовательно,
$BC=2AC=2actg\frac{\alpha}{2},~S_{\Delta BKC}=\frac{1}{2}BC\cdot AK=a^{2}ctg\frac{\alpha}{2}.$
Дан угол, равный $\alpha$. На его биссектрисе взята точка $K$; $P$ и $M$ - проекции $K$ на стороны угла. На отрезке $PM$ взята точка $A$ такая, что $KA=a$. Прямая, проходящая через $A$ перпендикулярно $KA$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Найдите площадь треугольника $BKC$.
Решение:
Заметим, что
$\angle PMK=\angle MPK=\frac{\alpha}{2}.$
Поскольку отрезок $CK$ виден из точек $A$ и $M$ под прямым углом, то точки $C$, $A$, $K$ и $M$ лежат на одной окружности. Поэтому
$\angle ACK=\angle AMK=\frac{\alpha}{2}.$
Аналогично
$\angle ABK=\angle APK=\frac{\alpha}{2}.$
Из прямоугольного треугольника $ACK$ находим, что
$AC=AKctg\angle ACK=actg\frac{\alpha}{2}.$
Следовательно,
$BC=2AC=2actg\frac{\alpha}{2},~S_{\Delta BKC}=\frac{1}{2}BC\cdot AK=a^{2}ctg\frac{\alpha}{2}.$
