Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4310
2019-07-31 
Из некоторой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$, проведены прямые, параллельные $BC$, $CA$ и $AB$ и пересекающие прямые $CA$, $AB$ и $BC$ в точках $M$, $N$ и $Q$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $N$ и $Q$ лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть дана точка $P$, принадлежащая дуге $BC$. Достаточно доказать, что $\angle BQN=\angle CQM$.
Точки $B$, $P$, $Q$ и $N$ принадлежат одной окружности, т.к.
$\angle BNP=\angle BQP=60^{\circ}.$
Поэтому $\angle BQN=\angle BPN$.
Точки $Q$, $C$, $M$ и $P$ также принадлежат одной окружности, т.к.
$\angle QCM+\angle QMP=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}.$
Поэтому $\angle CQM=\angle CPM$.
Поскольку
$\angle BPC=\angle NPM=120^{\circ},$
то $\angle BPN=\angle CPM$. Следовательно, $\angle BQN=\angle CQM$.
Из некоторой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$, проведены прямые, параллельные $BC$, $CA$ и $AB$ и пересекающие прямые $CA$, $AB$ и $BC$ в точках $M$, $N$ и $Q$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $N$ и $Q$ лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть дана точка $P$, принадлежащая дуге $BC$. Достаточно доказать, что $\angle BQN=\angle CQM$.
Точки $B$, $P$, $Q$ и $N$ принадлежат одной окружности, т.к.
$\angle BNP=\angle BQP=60^{\circ}.$
Поэтому $\angle BQN=\angle BPN$.
Точки $Q$, $C$, $M$ и $P$ также принадлежат одной окружности, т.к.
$\angle QCM+\angle QMP=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}.$
Поэтому $\angle CQM=\angle CPM$.
Поскольку
$\angle BPC=\angle NPM=120^{\circ},$
то $\angle BPN=\angle CPM$. Следовательно, $\angle BQN=\angle CQM$.
