Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 431
2014-06-07 
Пусть многочлены $P(x), Q(x), R(x)$ и $S(x)$ удовлетворяют тождеству
$P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R (x^{5}) \equiv (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) S(x)$.
Доказать, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $x – 1$.
Решение:
Пусть $s_{0}, s_{1}, \cdots, s_{n}$ - коэффициенты многочлена $S(x) = s_{0} + s_{1}x + \cdots + s_{n}x^{n}$. Умножая обе части исходного тождества на многочлен $x – 1$, получаем тождество
$(x - 1)(P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5})) \equiv (x^{5} - 1)S(x)$,
или
$P(x^{5}) + (x^{5} - 1)S_{1}(x) \equiv – (x^{5} - 1) S_{2}(x) + x P(x^{5}) + (x^{2} - x) Q_(x^{5}) + (x^{3} – x^{2})P(x^{5})$,
где обозначено
$S_{1}(x) = s_{0} + s_{5}x^{5} + s_{10}x^{10} + \cdots + s_{5m}x^{5m}, S_{2}(x) = S(x) – S_{1}(x), m = [n/5]$.
Поскольку в левую часть последнего тождества переменная $x$ входит лишь с показателями, кратными пяти, а в правую часть - лишь с показателями, не кратными пяти, то обе части тождества равны нулю, откуда имеем
$P(x^{5}) \equiv - (x^{5} - 1) S_{1}(x)$.
Подставляя в последнее тождество значение $x = 1$, получаем $P(1) = 0$, следовательно, по теореме Безу многочлен $P(x)$ делится на $x - 1$.
Пусть многочлены $P(x), Q(x), R(x)$ и $S(x)$ удовлетворяют тождеству
$P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R (x^{5}) \equiv (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) S(x)$.
Доказать, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $x – 1$.
Решение:
Пусть $s_{0}, s_{1}, \cdots, s_{n}$ - коэффициенты многочлена $S(x) = s_{0} + s_{1}x + \cdots + s_{n}x^{n}$. Умножая обе части исходного тождества на многочлен $x – 1$, получаем тождество
$(x - 1)(P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5})) \equiv (x^{5} - 1)S(x)$,
или
$P(x^{5}) + (x^{5} - 1)S_{1}(x) \equiv – (x^{5} - 1) S_{2}(x) + x P(x^{5}) + (x^{2} - x) Q_(x^{5}) + (x^{3} – x^{2})P(x^{5})$,
где обозначено
$S_{1}(x) = s_{0} + s_{5}x^{5} + s_{10}x^{10} + \cdots + s_{5m}x^{5m}, S_{2}(x) = S(x) – S_{1}(x), m = [n/5]$.
Поскольку в левую часть последнего тождества переменная $x$ входит лишь с показателями, кратными пяти, а в правую часть - лишь с показателями, не кратными пяти, то обе части тождества равны нулю, откуда имеем
$P(x^{5}) \equiv - (x^{5} - 1) S_{1}(x)$.
Подставляя в последнее тождество значение $x = 1$, получаем $P(1) = 0$, следовательно, по теореме Безу многочлен $P(x)$ делится на $x - 1$.
