Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4308
2019-07-31 
В прямоугольнике $ABCD$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Точки $M$ и $N$ - середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ - прямой.
Решение:
Первый способ. Поскольку $\angle BAK=\angle BDC$, то треугольники $BAK$ и $BDC$ подобны. $BM$ и $BN$ - медианы этих треугольников, проведённые из вершин соответствующих углов. Поэтому треугольники $BMK$ и $BNC$ подобны. Тогда $\angle BMC=\angle BNC$. Следовательно, точки $M$, $B$, $C$ и $N$ принадлежат одной окружности и $BN$ - её диаметр. Поэтому $\angle BMN=90^{\circ}$.
Второй способ. Поскольку
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{KC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{KC})~\mbox{и}~\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BK})$
то
$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{KC})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BK})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{BA})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AB}),$
т.к.
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{BK}=0.$
Обозначим $\angle BAC=\angle KBC=\alpha$. Тогда
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AB}=BC\cdot BK\cos\alpha-KC\cdot AB\cos\alpha=(BC\cdot BK-KC\cdot AB)\cos\alpha=(BC\cdot KCctg\alpha-KC\cdot BCctg\alpha)\cos\alpha=0.$
Следовательно, $BM\perp MN$.
В прямоугольнике $ABCD$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Точки $M$ и $N$ - середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ - прямой.
Решение:
Первый способ. Поскольку $\angle BAK=\angle BDC$, то треугольники $BAK$ и $BDC$ подобны. $BM$ и $BN$ - медианы этих треугольников, проведённые из вершин соответствующих углов. Поэтому треугольники $BMK$ и $BNC$ подобны. Тогда $\angle BMC=\angle BNC$. Следовательно, точки $M$, $B$, $C$ и $N$ принадлежат одной окружности и $BN$ - её диаметр. Поэтому $\angle BMN=90^{\circ}$.
Второй способ. Поскольку
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{KC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{KC})~\mbox{и}~\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BK})$
то
$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{KC})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BK})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{BA})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AB}),$
т.к.
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{BK}=0.$
Обозначим $\angle BAC=\angle KBC=\alpha$. Тогда
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AB}=BC\cdot BK\cos\alpha-KC\cdot AB\cos\alpha=(BC\cdot BK-KC\cdot AB)\cos\alpha=(BC\cdot KCctg\alpha-KC\cdot BCctg\alpha)\cos\alpha=0.$
Следовательно, $BM\perp MN$.
