Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4307
2019-07-31 
Окружность, построенная на основании $AD$ трапеции $ABCD$ как на диаметре, проходит через середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции и касается основания $BC$. Найдите углы трапеции.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины боковых сторон соответственно $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Тогда $MN\parallel AD$.
Пусть $O$ - центр окружности, $K$ - точка касания с основанием $BC$, $P$ - точка пересечения радиуса $OK$ со средней линией $MN$. Тогда
$OP=\frac{1}{2}OK=\frac{1}{2}ON.$
Из прямоугольного треугольника $PNO$ находим, что $\angle PNO=30^{\circ}$. Тогда
$\angle NOD=\angle PNO=30^{\circ},~\angle CDA=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}.$
Аналогично находим, что $\angle BAD=75^{\circ}$.
Окружность, построенная на основании $AD$ трапеции $ABCD$ как на диаметре, проходит через середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции и касается основания $BC$. Найдите углы трапеции.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины боковых сторон соответственно $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Тогда $MN\parallel AD$.
Пусть $O$ - центр окружности, $K$ - точка касания с основанием $BC$, $P$ - точка пересечения радиуса $OK$ со средней линией $MN$. Тогда
$OP=\frac{1}{2}OK=\frac{1}{2}ON.$
Из прямоугольного треугольника $PNO$ находим, что $\angle PNO=30^{\circ}$. Тогда
$\angle NOD=\angle PNO=30^{\circ},~\angle CDA=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}.$
Аналогично находим, что $\angle BAD=75^{\circ}$.
