Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4305
2019-07-31 
Признак параллельности прямых. Две прямые пересечены третьей. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые параллельны.
Решение:
Пусть прямая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая $c$ разбивает плоскость на две полуплоскости. На прямых $a$ и $b$ в разных полуплоскостях отметим точки $C$ и $D$ соответственно. Тогда $CAB$ и $DBA$ - внутренние накрест лежащие углы. По условию $\angle CAB=\angle DBA$.
Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Пусть они пересекаются в некоторой точке $M$. Построим треугольник $BAM_{1}$, равный треугольнику $ABM$, с вершиной $M_{1}$ в полуплоскости, не содержащей точку $M$ (это можно сделать по аксиоме существования треугольника, равного данному: каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча).
Соответствующие углы треугольников $ABM$ и $BAM_{1}$ при вершинах $A$ и $B$ - это накрест лежащие углы при прямых $a$, $b$ и секущей $c$, поэтому прямая $AM$ совпадает с прямой $a$, а прямая $BM_{1}$ - с прямой $b$ (по аксиоме откладывания углов: от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180^{\circ}$, и только один).
Получается, что через точки $M$ и $M_{1}$ проходят две различные прямые $a$ и $b$, что противоречит аксиоме: через любые две различные точки можно провести прямую, и только одну. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны.
Поскольку сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, равенство внутренних накрест лежащих углов равносильно тому, что сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$.
Признак параллельности прямых. Две прямые пересечены третьей. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые параллельны.
Решение:
Пусть прямая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая $c$ разбивает плоскость на две полуплоскости. На прямых $a$ и $b$ в разных полуплоскостях отметим точки $C$ и $D$ соответственно. Тогда $CAB$ и $DBA$ - внутренние накрест лежащие углы. По условию $\angle CAB=\angle DBA$.
Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Пусть они пересекаются в некоторой точке $M$. Построим треугольник $BAM_{1}$, равный треугольнику $ABM$, с вершиной $M_{1}$ в полуплоскости, не содержащей точку $M$ (это можно сделать по аксиоме существования треугольника, равного данному: каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча).
Соответствующие углы треугольников $ABM$ и $BAM_{1}$ при вершинах $A$ и $B$ - это накрест лежащие углы при прямых $a$, $b$ и секущей $c$, поэтому прямая $AM$ совпадает с прямой $a$, а прямая $BM_{1}$ - с прямой $b$ (по аксиоме откладывания углов: от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180^{\circ}$, и только один).
Получается, что через точки $M$ и $M_{1}$ проходят две различные прямые $a$ и $b$, что противоречит аксиоме: через любые две различные точки можно провести прямую, и только одну. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны.
Поскольку сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, равенство внутренних накрест лежащих углов равносильно тому, что сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$.
