Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4302
2019-07-31 
Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ ($AC=BC$), $H$ - точка пересечения высот, $\angle CAB=\angle CBA=\alpha$, $K$ - середина $AB$. Тогда
$OK=AKtg\frac{\alpha}{2},~HK=AKtg(90^{\circ}-\alpha)=AKctg\alpha.$
Поскольку $HK=2OK$, то $2tg\frac{\alpha}{2}=ctg\alpha$.
Пусть $tg\frac{\alpha}{2}=t$. Тогда полученное уравнение имеет вид:
$2t=\frac{1-t^{2}}{2t}.$
Отсюда находим, что $t^{2}=\frac{1}{5}$. Следовательно,
$\cos\alpha=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{2}{3}.$
Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ ($AC=BC$), $H$ - точка пересечения высот, $\angle CAB=\angle CBA=\alpha$, $K$ - середина $AB$. Тогда
$OK=AKtg\frac{\alpha}{2},~HK=AKtg(90^{\circ}-\alpha)=AKctg\alpha.$
Поскольку $HK=2OK$, то $2tg\frac{\alpha}{2}=ctg\alpha$.
Пусть $tg\frac{\alpha}{2}=t$. Тогда полученное уравнение имеет вид:
$2t=\frac{1-t^{2}}{2t}.$
Отсюда находим, что $t^{2}=\frac{1}{5}$. Следовательно,
$\cos\alpha=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{2}{3}.$
