Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4301
2019-07-31 
Найдите сумму квадратов расстояний от точки $M$, взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен $R$, а расстояние от точки $M$ до центра окружности равно $a$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности. $AB$ - произвольная хорда, параллельная данному диаметру. Обозначим $\angle BOM=\varphi$. Тогда $\angle AOM=180^{\circ}-\varphi$. По теореме косинусов из треугольников $BOM$ и $AOM$ находим, что
$BM^{2}=a^{2}+R^{2}-2aR\cos\varphi,$
$AM^{2}=a^{2}+R^{2}-2aR\cos(180^{\circ}-\varphi)=a^{2}+R^{2}+2aR\cos\varphi.$
Сложив почленно эти равенства, получим, что
$BM^{2}+AM^{2}=2(a^{2}+R^{2}).$
Найдите сумму квадратов расстояний от точки $M$, взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен $R$, а расстояние от точки $M$ до центра окружности равно $a$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности. $AB$ - произвольная хорда, параллельная данному диаметру. Обозначим $\angle BOM=\varphi$. Тогда $\angle AOM=180^{\circ}-\varphi$. По теореме косинусов из треугольников $BOM$ и $AOM$ находим, что
$BM^{2}=a^{2}+R^{2}-2aR\cos\varphi,$
$AM^{2}=a^{2}+R^{2}-2aR\cos(180^{\circ}-\varphi)=a^{2}+R^{2}+2aR\cos\varphi.$
Сложив почленно эти равенства, получим, что
$BM^{2}+AM^{2}=2(a^{2}+R^{2}).$
