Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4300
2019-07-31 
В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна $a$.
Решение:
Из теоремы о произведениях отрезков пересекающихся хорд следует, что все три хорды равны между собой. Поэтому точки пересечения хорд - вершины правильного треугольника со стороной $\frac{a}{3}$. Поскольку равные хорды равноудалены от центра окружности, то центр $O$ этого треугольника совпадает с центром данной окружности. Расстояние от точки $O$ до каждой хорды равно $\frac{a\sqrt{3}}{18}$. Пусть $R$ - искомый радиус. По теореме Пифагора находим, что
$R^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{18}\right)^{2}=\frac{7a^{2}}{27}.$
Следовательно,
$R=\frac{a\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}.$
В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна $a$.
Решение:
Из теоремы о произведениях отрезков пересекающихся хорд следует, что все три хорды равны между собой. Поэтому точки пересечения хорд - вершины правильного треугольника со стороной $\frac{a}{3}$. Поскольку равные хорды равноудалены от центра окружности, то центр $O$ этого треугольника совпадает с центром данной окружности. Расстояние от точки $O$ до каждой хорды равно $\frac{a\sqrt{3}}{18}$. Пусть $R$ - искомый радиус. По теореме Пифагора находим, что
$R^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{18}\right)^{2}=\frac{7a^{2}}{27}.$
Следовательно,
$R=\frac{a\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}.$
