Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4299
2019-07-31 
Около треугольника $ABC$, в котором $BC=a$, $\angle B=\alpha$, $\angle C=\beta$, описана окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает эту окружность в точке $K$. Найдите $AK$.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Тогда
$\angle BAC=180^{\circ}-(\beta+\alpha),~2R=\frac{BC}{\sin(\beta+\alpha)}=\frac{a}{\sin(\beta+\alpha)},$
$\angle ABK=\angle ABC+\angle CBK=\alpha+\frac{1}{2}(180^{\circ}-(\alpha+\beta))=90^{\circ}+\frac{\alpha-\beta}{2}.$
Следовательно,
$AK=2R\sin\angle ABK=2R\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=2R\cos\frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{a\cos\frac{\beta-\alpha}{2}}{\sin(\beta+\alpha)}.$
Около треугольника $ABC$, в котором $BC=a$, $\angle B=\alpha$, $\angle C=\beta$, описана окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает эту окружность в точке $K$. Найдите $AK$.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Тогда
$\angle BAC=180^{\circ}-(\beta+\alpha),~2R=\frac{BC}{\sin(\beta+\alpha)}=\frac{a}{\sin(\beta+\alpha)},$
$\angle ABK=\angle ABC+\angle CBK=\alpha+\frac{1}{2}(180^{\circ}-(\alpha+\beta))=90^{\circ}+\frac{\alpha-\beta}{2}.$
Следовательно,
$AK=2R\sin\angle ABK=2R\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=2R\cos\frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{a\cos\frac{\beta-\alpha}{2}}{\sin(\beta+\alpha)}.$
