Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4297
2019-07-31 
В окружность вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части. Найдите отношение радиусов этих окружностей.
Решение:
Пусть меньшая окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $P$, пересекает сторону $BC$ в точках $M$ и $N$, а сторону $AC$ - в точках $K$ и $L$, и $BM=MN=NC=a,AK=KL=LC=b$.
Поскольку $CM\cdot CN=CK\cdot CL$, то $a=b$, а т.к. $PB^{2}=BN\cdot BM$, то $PB=AP=a\sqrt{2}$.
Если $R$ - радиус большей окружности, то
$R=\frac{3a}{2\sin\angle BAC}=\frac{9a}{2\sqrt{7}}.$
Если $r$ - радиус меньшей окружности, то
$r=\sqrt{R^{2}-2a^{2}}=\frac{5a}{2\sqrt{7}}.$
Следовательно, $\frac{r}{R}=\frac{5}{9}$.
В окружность вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части. Найдите отношение радиусов этих окружностей.
Решение:
Пусть меньшая окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $P$, пересекает сторону $BC$ в точках $M$ и $N$, а сторону $AC$ - в точках $K$ и $L$, и $BM=MN=NC=a,AK=KL=LC=b$.
Поскольку $CM\cdot CN=CK\cdot CL$, то $a=b$, а т.к. $PB^{2}=BN\cdot BM$, то $PB=AP=a\sqrt{2}$.
Если $R$ - радиус большей окружности, то
$R=\frac{3a}{2\sin\angle BAC}=\frac{9a}{2\sqrt{7}}.$
Если $r$ - радиус меньшей окружности, то
$r=\sqrt{R^{2}-2a^{2}}=\frac{5a}{2\sqrt{7}}.$
Следовательно, $\frac{r}{R}=\frac{5}{9}$.
