Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4296
2019-07-31 
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ проведены диагонали $AC$ и $BD$. Известно, что $AD=2$, $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$, и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$, равно $\sqrt{2}$. Найдите $BC$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры указанных окружностей. Поскольку
$\angle AO_{1}D=\angle AO_{2}D=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACD=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$
, точки $A$, $O_{1}$, $O_{2}$ и $D$ лежат на одной окружности. Пусть $O$ - центр этой окружности, $R$ - её радиус. Тогда центральный угол $AOD$ равен $360^{\circ}-2\angle AO_{1}D=360^{\circ}-270^{\circ}=90^{\circ}$, значит, точка $O$ (так же, как и точки $B$ и $C$) лежит на окружности с диаметром $AD$, т.е. на окружности, описанной около данного четырёхугольника.
Треугольник $AOD$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому
$R=OA=OD=\frac{AD}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},$
Точка $O$ - середина дуги $AD$, не содержащей точки $B$, значит, $CO$ и $BO$ - биссектрисы углов $ACD$ и $ABD$, поэтому $BO_{1}O$ - одна прямая и $CO_{2}O$ - одна прямая.
Треугольник $OO_{1}O_{2}$ - равносторонний ($OO_{1}=OO_{2}=R=\sqrt{2}=O_{1}O_{2}$), поэтому $\angle BOC=\angle O_{1}OO_{2}=60^{\circ}$. Следовательно, по теореме синусов
$BC=AD\sin60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$
Второй способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры указанных окружностей. Поскольку $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$, точки $B$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $AD=2$. Продолжения биссектрис $BO_{1}$ и $CO_{2}$ треугольников $ABD$ и $ACD$ пересекают эту окружность в середине $O$ дуги $AD$, не содержащей точки $B$. Треугольник $AOD$ - прямоугольный и равнобедренный, поэтому $OA=OD=\sqrt{2}$. Треугольник $AOO_{1}$ - равнобедренный, т.к.
$\angle AO_{1}O=\angle ABO+\angle BAO=\frac{1}{2}\angle ABD+\frac{1}{2}\angle BAD,$
$\angle OAO_{1}=\angle OAD+\angle DAO_{1}=\angle OBD+\angle DAO_{1}=\frac{1}{2}\angle ABD+\frac{1}{2}\angle BAD=\angle AO_{1}O.$
Тогда $OA=OO_{1}$ и $OD=OO_{2}$, поэтому $OO_{1}=OO_{2}=\sqrt{2}$. Треугольник $OO_{1}O_{2}$ - равносторонний, поэтому $\angle BOC=\angle O_{1}OO_{2}=60^{\circ}$. Следовательно, по теореме синусов
$BC=AD\sin60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ проведены диагонали $AC$ и $BD$. Известно, что $AD=2$, $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$, и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$, равно $\sqrt{2}$. Найдите $BC$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры указанных окружностей. Поскольку
$\angle AO_{1}D=\angle AO_{2}D=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACD=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$
, точки $A$, $O_{1}$, $O_{2}$ и $D$ лежат на одной окружности. Пусть $O$ - центр этой окружности, $R$ - её радиус. Тогда центральный угол $AOD$ равен $360^{\circ}-2\angle AO_{1}D=360^{\circ}-270^{\circ}=90^{\circ}$, значит, точка $O$ (так же, как и точки $B$ и $C$) лежит на окружности с диаметром $AD$, т.е. на окружности, описанной около данного четырёхугольника.
Треугольник $AOD$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому
$R=OA=OD=\frac{AD}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},$
Точка $O$ - середина дуги $AD$, не содержащей точки $B$, значит, $CO$ и $BO$ - биссектрисы углов $ACD$ и $ABD$, поэтому $BO_{1}O$ - одна прямая и $CO_{2}O$ - одна прямая.
Треугольник $OO_{1}O_{2}$ - равносторонний ($OO_{1}=OO_{2}=R=\sqrt{2}=O_{1}O_{2}$), поэтому $\angle BOC=\angle O_{1}OO_{2}=60^{\circ}$. Следовательно, по теореме синусов
$BC=AD\sin60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$
Второй способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры указанных окружностей. Поскольку $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$, точки $B$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $AD=2$. Продолжения биссектрис $BO_{1}$ и $CO_{2}$ треугольников $ABD$ и $ACD$ пересекают эту окружность в середине $O$ дуги $AD$, не содержащей точки $B$. Треугольник $AOD$ - прямоугольный и равнобедренный, поэтому $OA=OD=\sqrt{2}$. Треугольник $AOO_{1}$ - равнобедренный, т.к.
$\angle AO_{1}O=\angle ABO+\angle BAO=\frac{1}{2}\angle ABD+\frac{1}{2}\angle BAD,$
$\angle OAO_{1}=\angle OAD+\angle DAO_{1}=\angle OBD+\angle DAO_{1}=\frac{1}{2}\angle ABD+\frac{1}{2}\angle BAD=\angle AO_{1}O.$
Тогда $OA=OO_{1}$ и $OD=OO_{2}$, поэтому $OO_{1}=OO_{2}=\sqrt{2}$. Треугольник $OO_{1}O_{2}$ - равносторонний, поэтому $\angle BOC=\angle O_{1}OO_{2}=60^{\circ}$. Следовательно, по теореме синусов
$BC=AD\sin60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$
