Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4294
2019-07-31 
На отрезке $AC$ взята точка $B$, и на отрезках $AB$, $BC$ и $CA$ построены полуокружности $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$ по одну сторону от $AC$; $D$ - точка на $S_{3}$, проекция которой на $AC$ совпадает с точкой $B$. Общая касательная к $S_{1}$ и $S_{2}$ касается этих полуокружностей в точках $F$ и $E$ соответственно. Докажите, что
а) прямая $EF$ параллельна касательной к $S_{3}$, проведённой через точку $D$;
б) $BFDE$ - прямоугольник.
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$ и $O_{3}$ - центры полуокружностей соответственно $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$; $r$ и $R$ - радиусы полуокружностей соответственно $S_{1}$ и $S_{2}$ ($r\lt R$). Тогда радиус полуокружности $S_{3}$ равен $r+R$.
Пусть $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_{1}$ на $O_{2}E$. Тогда
$O_{2}K=R-r,~O_{1}O_{2}=r+R.$
В треугольнике $DBO_{3}$
$BO_{3}=R-r,~O_{3}D=R+r.$
Поскольку прямоугольные треугольники $O_{1}KO_{2}$ и $DBO_{3}$ равны, то равны углы $EO_{2}O_{1}$ и $DO_{3}B$, откуда следует первое утверждение.
В четырёхугольнике $BFDE$ диагонали равны (т.к. $DB=FE=2\sqrt{rR}$, см. задачу 4159) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $BFDE$ - прямоугольник.
На отрезке $AC$ взята точка $B$, и на отрезках $AB$, $BC$ и $CA$ построены полуокружности $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$ по одну сторону от $AC$; $D$ - точка на $S_{3}$, проекция которой на $AC$ совпадает с точкой $B$. Общая касательная к $S_{1}$ и $S_{2}$ касается этих полуокружностей в точках $F$ и $E$ соответственно. Докажите, что
а) прямая $EF$ параллельна касательной к $S_{3}$, проведённой через точку $D$;
б) $BFDE$ - прямоугольник.
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$ и $O_{3}$ - центры полуокружностей соответственно $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$; $r$ и $R$ - радиусы полуокружностей соответственно $S_{1}$ и $S_{2}$ ($r\lt R$). Тогда радиус полуокружности $S_{3}$ равен $r+R$.
Пусть $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_{1}$ на $O_{2}E$. Тогда
$O_{2}K=R-r,~O_{1}O_{2}=r+R.$
В треугольнике $DBO_{3}$
$BO_{3}=R-r,~O_{3}D=R+r.$
Поскольку прямоугольные треугольники $O_{1}KO_{2}$ и $DBO_{3}$ равны, то равны углы $EO_{2}O_{1}$ и $DO_{3}B$, откуда следует первое утверждение.
В четырёхугольнике $BFDE$ диагонали равны (т.к. $DB=FE=2\sqrt{rR}$, см. задачу 4159) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $BFDE$ - прямоугольник.
