Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4293
2019-07-31 
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B=50^{\circ}$, $\angle C=70^{\circ}$. Найдите углы треугольника $OHC$, где $H$ - точка пересечения высот, $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Решение:
Заметим, что
$\angle CHB=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.$
Пусть $CC_{1}$ и $BB_{1}$ - высоты треугольника $ABC$. Из прямоугольных треугольников $CC_{1}B$ и $BB_{1}C$ находим, что
$\angle BCH=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ},~\angle CBH=\angle CBB_{1}=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}.$
Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, поэтому
$\angle COB=2\angle BAC=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ},~\angle OCB=\angle OBC=30^{\circ},$
значит,
$\angle OCH=\angle BCH-\angle BCO=40^{\circ}-30^{\circ}=10^{\circ}.$
Из точек $H$ и $O$, лежащих по одну сторону от прямой $BC$, отрезок $BC$ виден под одним и тем же углом ($120^{\circ}$), значит, точки $B$, $O$, $H$ и $C$ лежат на одной окружности. Следовательно,
$\angle COH=\angle CBH=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ},$
$\angle CHO=180^{\circ}-\angle OCH-\angle COH=180^{\circ}-10^{\circ}-20^{\circ}=150^{\circ}.$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B=50^{\circ}$, $\angle C=70^{\circ}$. Найдите углы треугольника $OHC$, где $H$ - точка пересечения высот, $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Решение:
Заметим, что
$\angle CHB=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.$
Пусть $CC_{1}$ и $BB_{1}$ - высоты треугольника $ABC$. Из прямоугольных треугольников $CC_{1}B$ и $BB_{1}C$ находим, что
$\angle BCH=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ},~\angle CBH=\angle CBB_{1}=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}.$
Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, поэтому
$\angle COB=2\angle BAC=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ},~\angle OCB=\angle OBC=30^{\circ},$
значит,
$\angle OCH=\angle BCH-\angle BCO=40^{\circ}-30^{\circ}=10^{\circ}.$
Из точек $H$ и $O$, лежащих по одну сторону от прямой $BC$, отрезок $BC$ виден под одним и тем же углом ($120^{\circ}$), значит, точки $B$, $O$, $H$ и $C$ лежат на одной окружности. Следовательно,
$\angle COH=\angle CBH=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ},$
$\angle CHO=180^{\circ}-\angle OCH-\angle COH=180^{\circ}-10^{\circ}-20^{\circ}=150^{\circ}.$
