Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4290
2019-07-31 
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны углы: $\angle BAC=20^{\circ}$, $\angle BCA=35^{\circ}$, $\angle BDC=40^{\circ}$, $\angle BDA=70^{\circ}$. Найдите угол между диагоналями этого четырёхугольника.
Решение:
Первый способ. Пусть $K$ - точка пересечения биссектрисы угла $ADB$ с диагональю $AC$. Поскольку $\angle KDB=\angle KCB=35^{\circ}$, то точки $K$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности. Поэтому
$\angle BKC=\angle BDC=40^{\circ},~\angle ABK=\angle BKC-\angle BAC=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}.$
Тогда $AK=BK$ и радиус окружности, описанной около треугольника $AKD$, равен радиусу первой окружности ($\angle ADK=\angle KDB=35^{\circ}$). Поэтому $DA=DC$ и
$\angle CAD=\angle ACD=\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}{2}=35^{\circ}.$
Следовательно, угол между диагоналями равен
$\angle BDC+\angle ACD=40^{\circ}+35^{\circ}=75^{\circ}.$
Второй способ. Опишем окружность около треугольника $ABC$. Пусть луч $BD$ пересекает эту окружность в точке $E$. Поскольку
$\angle AEC=180^{\circ}-\angle ABC=\angle BAC+\angle BCA=20^{\circ}+35^{\circ}=55^{\circ}\lt110^{\circ}=\angle ADC,$
точка $D$ лежит на отрезке $BE$.
По теореме о внешнем угле треугольника
$\angle DCE=\angle BDC-\angle BEC=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}=\angle DEC,$
значит, $DC=DE$. Аналогично получим, что $DE=DA$. Следовательно, $D$ - центр описанной окружности треугольника $AEC$.
Пусть $M$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Из равнобедренного треугольника $ADC$ находим, что $\angle ACD=35^{\circ}$. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle BMC=\angle BEC+\angle CEM=\angle BAC+(\angle ACD+\angle DCE)=20^{\circ}+(35^{\circ}+20^{\circ})=75^{\circ}.$
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны углы: $\angle BAC=20^{\circ}$, $\angle BCA=35^{\circ}$, $\angle BDC=40^{\circ}$, $\angle BDA=70^{\circ}$. Найдите угол между диагоналями этого четырёхугольника.
Решение:
Первый способ. Пусть $K$ - точка пересечения биссектрисы угла $ADB$ с диагональю $AC$. Поскольку $\angle KDB=\angle KCB=35^{\circ}$, то точки $K$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности. Поэтому
$\angle BKC=\angle BDC=40^{\circ},~\angle ABK=\angle BKC-\angle BAC=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}.$
Тогда $AK=BK$ и радиус окружности, описанной около треугольника $AKD$, равен радиусу первой окружности ($\angle ADK=\angle KDB=35^{\circ}$). Поэтому $DA=DC$ и
$\angle CAD=\angle ACD=\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}{2}=35^{\circ}.$
Следовательно, угол между диагоналями равен
$\angle BDC+\angle ACD=40^{\circ}+35^{\circ}=75^{\circ}.$
Второй способ. Опишем окружность около треугольника $ABC$. Пусть луч $BD$ пересекает эту окружность в точке $E$. Поскольку
$\angle AEC=180^{\circ}-\angle ABC=\angle BAC+\angle BCA=20^{\circ}+35^{\circ}=55^{\circ}\lt110^{\circ}=\angle ADC,$
точка $D$ лежит на отрезке $BE$.
По теореме о внешнем угле треугольника
$\angle DCE=\angle BDC-\angle BEC=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}=\angle DEC,$
значит, $DC=DE$. Аналогично получим, что $DE=DA$. Следовательно, $D$ - центр описанной окружности треугольника $AEC$.
Пусть $M$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Из равнобедренного треугольника $ADC$ находим, что $\angle ACD=35^{\circ}$. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle BMC=\angle BEC+\angle CEM=\angle BAC+(\angle ACD+\angle DCE)=20^{\circ}+(35^{\circ}+20^{\circ})=75^{\circ}.$
