Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4289
2019-07-31 
В окружность вписан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$ и $\angle B=\beta$. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках $D$ и $E$ ($DE\parallel AC)$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $DBE$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $BC$, $h$ - высота треугольника $ABC$, проведённая из вершины $B$, $AC=2a$, $DM=NE=x$. Тогда
$\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta DBE}}=\frac{4a}{a+2x}=\frac{4}{1+\frac{2x}{a}},$
$DM\cdot ME=AM\cdot MB,~\mbox{или}~x(x+a)=\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\beta}{2}},~$
или
$x^{2}+ax-\frac{a^{2}}{2+2\cos\beta}=0.$
Отсюда находим, что
$\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{\frac{3-\cos\beta}{1-\cos\beta}}-1}{2}.$
Следовательно,
$\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta DBE}}=\frac{4}{1+\frac{2x}{a}}=\frac{4}{\sqrt{\frac{3-\cos\beta}{1-\cos\beta}}}=4\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{3-\cos\beta}}.$
В окружность вписан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$ и $\angle B=\beta$. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках $D$ и $E$ ($DE\parallel AC)$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $DBE$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $BC$, $h$ - высота треугольника $ABC$, проведённая из вершины $B$, $AC=2a$, $DM=NE=x$. Тогда
$\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta DBE}}=\frac{4a}{a+2x}=\frac{4}{1+\frac{2x}{a}},$
$DM\cdot ME=AM\cdot MB,~\mbox{или}~x(x+a)=\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\beta}{2}},~$
или
$x^{2}+ax-\frac{a^{2}}{2+2\cos\beta}=0.$
Отсюда находим, что
$\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{\frac{3-\cos\beta}{1-\cos\beta}}-1}{2}.$
Следовательно,
$\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta DBE}}=\frac{4}{1+\frac{2x}{a}}=\frac{4}{\sqrt{\frac{3-\cos\beta}{1-\cos\beta}}}=4\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{3-\cos\beta}}.$
