Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4288
2019-07-31 
Найдите площадь ромба $ABCD$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, равны $R$ и $r$.
Решение:
Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Тогда
$AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin\alpha,~AB=2r\sin\angle BDA=2r\sin(90^{\circ}-\alpha)=2r\cos\alpha,$
откуда находим, что $tg\alpha=\frac{r}{R}$.
Поскольку
$BD=2r\sin2\alpha,~AC=2R\sin2\alpha,$
то
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=2Rr\sin^{2}2\alpha.$
Поскольку
$\sin2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}},$
то
$S_{ABCD}=2Rr\sin^{2}2\alpha=2Rr\cdot\left(\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}}\right)^{2}=\frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}.$
Найдите площадь ромба $ABCD$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, равны $R$ и $r$.
Решение:
Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Тогда
$AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin\alpha,~AB=2r\sin\angle BDA=2r\sin(90^{\circ}-\alpha)=2r\cos\alpha,$
откуда находим, что $tg\alpha=\frac{r}{R}$.
Поскольку
$BD=2r\sin2\alpha,~AC=2R\sin2\alpha,$
то
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=2Rr\sin^{2}2\alpha.$
Поскольку
$\sin2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}},$
то
$S_{ABCD}=2Rr\sin^{2}2\alpha=2Rr\cdot\left(\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}}\right)^{2}=\frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}.$
