Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 428
2014-06-07 
Доказать, что при любых значениях $n \in \mathbf{N}$ и $\alpha \in \mathbf{R}$, удовлетворяющих условиям $n \neq 1$ и $\sin \alpha \neq 0$, многочлен
$P(x) = x^{n} \sin \alpha – x \sin n \alpha + \sin (n-1) \alpha$
делится на многочлен
$Q(x) = x^{2} – 2x \cos \alpha + 1$.
Решение:
Обозначим $x_{\varepsilon} = \cos \alpha + i \varepsilon \sin \alpha$, где $\varepsilon \in \{-1; 1\}$. Тогда многочлен $Q(x)$ представляется в виде
$Q(x) = (x - \cos \alpha – i \sin \alpha) (x - \cos \alpha + i \sin \alpha) = (x – x_{1})(x – x_{-1})$.
По формуле Муавра имеем $x_{\varepsilon}^{n} = (\cos \varepsilon \alpha + i \sin \varepsilon \alpha)^{n} = \cos \varepsilon n \alpha + i \sin \varepsilon n \alpha =
= \cos n \alpha + \varepsilon i \sin n \alpha$, поэтому
$P(x_{\varepsilon}) = (\cos n \alpha + \varepsilon i \sin n \alpha)^{n} \sin \alpha - (\cos \alpha + \varepsilon i \sin \alpha) \sin n \alpha + \sin (n - 1) \alpha =$
$= \cos n \alpha \sin \alpha - \cos \alpha \sin n \alpha + \sin (n - 1) \alpha = \sin (1 - n) \alpha + \sin (n-1) \alpha = 0$.
Следовательно, по теореме Безу многочлен $P(x)$ делится на каждый из многочленов $x – x_{1}, x – x_{-1}$ (не равных друг другу, так как $\sin \alpha \neq 0$), а значит, и на их произведение $Q(x)$.
Доказать, что при любых значениях $n \in \mathbf{N}$ и $\alpha \in \mathbf{R}$, удовлетворяющих условиям $n \neq 1$ и $\sin \alpha \neq 0$, многочлен
$P(x) = x^{n} \sin \alpha – x \sin n \alpha + \sin (n-1) \alpha$
делится на многочлен
$Q(x) = x^{2} – 2x \cos \alpha + 1$.
Решение:
Обозначим $x_{\varepsilon} = \cos \alpha + i \varepsilon \sin \alpha$, где $\varepsilon \in \{-1; 1\}$. Тогда многочлен $Q(x)$ представляется в виде
$Q(x) = (x - \cos \alpha – i \sin \alpha) (x - \cos \alpha + i \sin \alpha) = (x – x_{1})(x – x_{-1})$.
По формуле Муавра имеем $x_{\varepsilon}^{n} = (\cos \varepsilon \alpha + i \sin \varepsilon \alpha)^{n} = \cos \varepsilon n \alpha + i \sin \varepsilon n \alpha =
= \cos n \alpha + \varepsilon i \sin n \alpha$, поэтому
$P(x_{\varepsilon}) = (\cos n \alpha + \varepsilon i \sin n \alpha)^{n} \sin \alpha - (\cos \alpha + \varepsilon i \sin \alpha) \sin n \alpha + \sin (n - 1) \alpha =$
$= \cos n \alpha \sin \alpha - \cos \alpha \sin n \alpha + \sin (n - 1) \alpha = \sin (1 - n) \alpha + \sin (n-1) \alpha = 0$.
Следовательно, по теореме Безу многочлен $P(x)$ делится на каждый из многочленов $x – x_{1}, x – x_{-1}$ (не равных друг другу, так как $\sin \alpha \neq 0$), а значит, и на их произведение $Q(x)$.
