Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 427
2014-06-07 
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{Z}^{+}$ многочлен $(x + 1)^{2n+1} + x^{n+2}$ делится на многочлен $x^{2} + x + 1$.
Решение:
Доказательство проведем индукцией по $n \in \mathbf{Z}^{+}$. При $n = 0$ утверждение справедливо, так как в этом случае $(x + 1)^{2n+1} + x^{n+2} \equiv x^{2} + x + 1$. Предположим, что для некоторого значения $n – 1$ утверждение выполняется, т. е. многочлен $(x + 1)^{2n-1} + x^{n+1}$ делится на многочлен $x^{2} + x + 1$. Но тогда многочлен
$(x+1)^{2n+1} + x^{n+2} \equiv (x + 1)^{2}(x + 1)^{2n-1} + x \cdot x^{n+1} \equiv (x^{2} + x +1)(x + 1)^{2n-1} + x \cdot x^{n+1} \equiv$
$\equiv (x^{2} + x + 1)(x + 1)^{2n-1} + x ((x + 1)^{2n-1} + x^{n+1})$
также делится на многочлен $x^{2} + x + 1$, т. е. утверждение верно и для значения $n$.
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{Z}^{+}$ многочлен $(x + 1)^{2n+1} + x^{n+2}$ делится на многочлен $x^{2} + x + 1$.
Решение:
Доказательство проведем индукцией по $n \in \mathbf{Z}^{+}$. При $n = 0$ утверждение справедливо, так как в этом случае $(x + 1)^{2n+1} + x^{n+2} \equiv x^{2} + x + 1$. Предположим, что для некоторого значения $n – 1$ утверждение выполняется, т. е. многочлен $(x + 1)^{2n-1} + x^{n+1}$ делится на многочлен $x^{2} + x + 1$. Но тогда многочлен
$(x+1)^{2n+1} + x^{n+2} \equiv (x + 1)^{2}(x + 1)^{2n-1} + x \cdot x^{n+1} \equiv (x^{2} + x +1)(x + 1)^{2n-1} + x \cdot x^{n+1} \equiv$
$\equiv (x^{2} + x + 1)(x + 1)^{2n-1} + x ((x + 1)^{2n-1} + x^{n+1})$
также делится на многочлен $x^{2} + x + 1$, т. е. утверждение верно и для значения $n$.
