ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-23   
В параллелограмме $ABCD$ известны стороны $AB=a$, $BC=b$ и угол $\angle ABC=\alpha$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BCD$ и $DAB$.


Решение:



Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры описанных окружностей треугольников $DAB$ и $BCD$ соответственно, $O$ - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Поскольку треугольники $DAB$ и $BCD$ равны, то радиусы окружностей также равны. По свойству параллелограмма $\angle BAD=180^{\circ}-\alpha$.
Пусть $\alpha\gt90^{\circ}$. По теореме косинусов

$BD=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ}-\alpha)}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}.$

Вписанный в окружность с центром $O_{1}$ угол $BAD$ равен половине центрального угла $BO_{1}D$, значит,

$\angle BO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle BO_{1}D=\angle BAD=180^{\circ}-\alpha.$

Прямая $O_{1}O_{2}$ - серединный перпендикуляр к диагонали $BD$, Поэтому

$O_{1}O_{2}=2O_{1}O=2\cdot BOctg\angle BO_{1}O=2\cdot\frac{1}{2}BDctg\angle BO_{1}O=BDctg(180^{\circ}-\alpha)=-BDctg\alpha=-\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}ctg\alpha.$


Если же $\alpha\geq90^{\circ}$, то аналогично получим, что

$O_{1}O_{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}ctg\alpha.$