Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4265
2019-07-23 
В треугольнике $ABC$ на наибольшей стороне $BC$, равной $b$, выбирается точка $M$. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAM$ и $ACM$.
Решение:
Проекции центров $O_{1}$ и $O_{2}$ данных окружностей на $BC$ - середины $P$ и $Q$ отрезков $BM$ и $MC$ соответственно. Тогда $O_{1}O_{2}\geq PQ=\frac{b}{2}$.
Если $AM$ - высота треугольника $BAC$, то
$O_{1}O_{2}=PQ=\frac{b}{2}.$
В остальных случаях $O_{1}O_{2}\gt\frac{b}{2}$.
В треугольнике $ABC$ на наибольшей стороне $BC$, равной $b$, выбирается точка $M$. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAM$ и $ACM$.
Решение:
Проекции центров $O_{1}$ и $O_{2}$ данных окружностей на $BC$ - середины $P$ и $Q$ отрезков $BM$ и $MC$ соответственно. Тогда $O_{1}O_{2}\geq PQ=\frac{b}{2}$.
Если $AM$ - высота треугольника $BAC$, то
$O_{1}O_{2}=PQ=\frac{b}{2}.$
В остальных случаях $O_{1}O_{2}\gt\frac{b}{2}$.
