Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4264
2019-07-23 
Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного $\alpha$, хорды, равные $a$, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно $b$.
Решение:
Пусть $M$ - вершина данного угла, $AB$ и $CD$ - данные хорды, $AC=b$, $AB=CD=a$, $R$ - радиус окружности.
Поскольку $MA\cdot MB=MD\cdot MC$, то $AM=CM$. Поэтому треугольник $AMC$ - равнобедренный. Следовательно,
$\angle BAC=180^{\circ}-\angle MAC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.$
По теореме косинусов
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=a^{2}+b^{2}+2ab\sin\frac{\alpha}{2},~$
$R=\frac{BC}{2\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\sin\frac{\alpha}{2}}}{2\cos\frac{\alpha}{2}}.$
Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного $\alpha$, хорды, равные $a$, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно $b$.
Решение:
Пусть $M$ - вершина данного угла, $AB$ и $CD$ - данные хорды, $AC=b$, $AB=CD=a$, $R$ - радиус окружности.
Поскольку $MA\cdot MB=MD\cdot MC$, то $AM=CM$. Поэтому треугольник $AMC$ - равнобедренный. Следовательно,
$\angle BAC=180^{\circ}-\angle MAC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.$
По теореме косинусов
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=a^{2}+b^{2}+2ab\sin\frac{\alpha}{2},~$
$R=\frac{BC}{2\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\sin\frac{\alpha}{2}}}{2\cos\frac{\alpha}{2}}.$
