Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 426
2014-06-07 
Доказать, что ненулевые многочлены $P$ и $Q$ с комплексными коэффициентами имеют одинаковые корни (одинаковой кратности) тогда и только тогда, когда функция $f(z) = |P(z)| - |Q(z)|$ имеет постоянный знак во всех точках $z \in \mathbf{C}$, в которых она отлична от нуля.
Решение:
Пусть корни многочленов $P$ и $Q$ совпадают (имеете с кратностями), тогда имеем
$P(z) = a (z-z_{1})^{n_{1}}(z-z_{2})^{n_{2}} \cdots (z-z_{k})^{n_{k}}$,
$Q(z) = b (z-z_{1})^{n_{1}}(z-z_{2})^{n_{2}} \cdots (z-z_{k})^{n_{k}}$,
где $a, b$ - ненулевые комплексные числа, $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{k} \in \mathbf{N}$. Поэтому функция
$f(z) = |P(z)| - |Q(z)| = (|a| - |b|) |(z – z_{1})^{n_{1}} \cdots (z – z_{k})^{n_{k}}|$
не может принимать значения разных знаков. Пусть теперь функция $f(z)$ не принимает, для определенности, отрицательных значений. Тогда $deg P \geq deg Q$, так как в противном случае для достаточно больших по модулю значений г было бы выполнено неравенство $|P(z)| < |Q(z)|$, т. е. $f(z) < 0$. Далее, предположим, что
$P(z) = (z – z_{0})^{n_{0}}P_{0}(z)$,
где $z_{0} \in \mathbf{C}, n_{0} \in \mathbf{N}, P_{0}(z)$ - многочлен, $P_{0}(z_{0}) \neq 0$. Пусть $Q(z) = (z – z_{0})^{m_{0}}Q_{0}(z)$, где $m_{0} \in \mathbf{Z}^{+}, Q_{0}(z)$ - многочлен, $Q_{0}(z_{0}) \neq 0$. Докажем, что $m_{0} \geq n_{0}$. Действительно, если $0 \leq m_{0} < n_{0}$, то число
$f(z) = |z-z_{0}|^{m_{0}}(|(z – z_{0})^{n_{0}-m_{0}} \cdot P_{0}(z)| - |Q_{0}(z)|)$
будет отрицательным для некоторого значения $z$, достаточно близкого к $z_{0}$. Таким образом, если многочлен $P$ имеет корни $z_{1}, \cdots, z_{k}$ кратностей $n_{1}, \cdots, n_{k}$ соответственно, то такие же корни не меньших кратностей $m_{1}, \cdots, m_{k}$ соответственно имеет и многочлен $Q$. Наконец, из неравенств
$n_{1} \leq m_{1}, \cdots, n_{k} \leq m_{k}, n_{1} + \cdots + n_{k} \geq m_{1} + \cdots + m_{k}$
вытекает, что
$n_{1} = m_{1}, \cdots, n_{k} = m_{k}, deg P = deg Q$
и что других корней, кроме $z_{1}, \cdots, z_{k}$ у многочлена $Q$ нет, следовательно, корни многочленов $P$ и $Q$ совпадают.
Доказать, что ненулевые многочлены $P$ и $Q$ с комплексными коэффициентами имеют одинаковые корни (одинаковой кратности) тогда и только тогда, когда функция $f(z) = |P(z)| - |Q(z)|$ имеет постоянный знак во всех точках $z \in \mathbf{C}$, в которых она отлична от нуля.
Решение:
Пусть корни многочленов $P$ и $Q$ совпадают (имеете с кратностями), тогда имеем
$P(z) = a (z-z_{1})^{n_{1}}(z-z_{2})^{n_{2}} \cdots (z-z_{k})^{n_{k}}$,
$Q(z) = b (z-z_{1})^{n_{1}}(z-z_{2})^{n_{2}} \cdots (z-z_{k})^{n_{k}}$,
где $a, b$ - ненулевые комплексные числа, $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{k} \in \mathbf{N}$. Поэтому функция
$f(z) = |P(z)| - |Q(z)| = (|a| - |b|) |(z – z_{1})^{n_{1}} \cdots (z – z_{k})^{n_{k}}|$
не может принимать значения разных знаков. Пусть теперь функция $f(z)$ не принимает, для определенности, отрицательных значений. Тогда $deg P \geq deg Q$, так как в противном случае для достаточно больших по модулю значений г было бы выполнено неравенство $|P(z)| < |Q(z)|$, т. е. $f(z) < 0$. Далее, предположим, что
$P(z) = (z – z_{0})^{n_{0}}P_{0}(z)$,
где $z_{0} \in \mathbf{C}, n_{0} \in \mathbf{N}, P_{0}(z)$ - многочлен, $P_{0}(z_{0}) \neq 0$. Пусть $Q(z) = (z – z_{0})^{m_{0}}Q_{0}(z)$, где $m_{0} \in \mathbf{Z}^{+}, Q_{0}(z)$ - многочлен, $Q_{0}(z_{0}) \neq 0$. Докажем, что $m_{0} \geq n_{0}$. Действительно, если $0 \leq m_{0} < n_{0}$, то число
$f(z) = |z-z_{0}|^{m_{0}}(|(z – z_{0})^{n_{0}-m_{0}} \cdot P_{0}(z)| - |Q_{0}(z)|)$
будет отрицательным для некоторого значения $z$, достаточно близкого к $z_{0}$. Таким образом, если многочлен $P$ имеет корни $z_{1}, \cdots, z_{k}$ кратностей $n_{1}, \cdots, n_{k}$ соответственно, то такие же корни не меньших кратностей $m_{1}, \cdots, m_{k}$ соответственно имеет и многочлен $Q$. Наконец, из неравенств
$n_{1} \leq m_{1}, \cdots, n_{k} \leq m_{k}, n_{1} + \cdots + n_{k} \geq m_{1} + \cdots + m_{k}$
вытекает, что
$n_{1} = m_{1}, \cdots, n_{k} = m_{k}, deg P = deg Q$
и что других корней, кроме $z_{1}, \cdots, z_{k}$ у многочлена $Q$ нет, следовательно, корни многочленов $P$ и $Q$ совпадают.
