ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-23   
Наименьшее расстояние от данной точки до точек окружности равно $a$, и наибольшее равно $b$. Найдите радиус.


Решение:




Пусть точка $M$ лежит вне окружности с центром $O$ (рис.1) и $AB=2R$ - диаметр этой окружности, принадлежащий прямой $OM$ ($B$ между $O$ и $M$). Если $X$ - произвольная точка окружности, то

$MX\leq OX+OM=R+OM=AM.$

Поэтому $AM$ - наибольшее расстояние от точки $M$ до точек окружности, а т.к.

$MX+R=MX+OX\geq OM=OB+BM=R+BM,$

то $MX\geq BM$. Поэтому $BM$ - наименьшее расстояние от точки $M$ до точек окружности, Следовательно,

$R=\frac{AM-BM}{2}=\frac{b-a}{2}.$

Если точка $M$ - внутри круга (рис.2), то аналогично найдём, что

$R=\frac{b+a}{2}.$


Если же точка лежит на окружности, то $a=0$ и $b=2R$, значит, $R=\frac{b-a}{2}=\frac{b+a}{2}$.