Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4255
2019-07-23 
Расстояние между центрами окружностей радиусов $r$ и $R$ равно $a$, причём $a\gt r+R$. Найдите наименьшее из расстояний между точками, одна из которых лежит на первой окружности, а другая - на второй (расстояние между окружностями).
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $r$ и $R$ соответственно, а линия центров пересекает окружности соответственно в точках $A$ и $B$, причём $A$ и $B$ лежат между $O_{1}$ и $O_{2}$. Тогда, если $X$ и $Y$ - произвольные точки, лежащие соответственно на первой и второй окружности, то
$XO_{1}+XY+YO_{2}\leq O_{1}O_{2}=AO_{1}+AB+BO_{2},$
или
$r+XY+R\leq r+AB+R.$
Следовательно, $XY\leq AB=a-r-R$, причём равенство достигается только в случае, когда $X=A$ и $Y=B$.
Расстояние между центрами окружностей радиусов $r$ и $R$ равно $a$, причём $a\gt r+R$. Найдите наименьшее из расстояний между точками, одна из которых лежит на первой окружности, а другая - на второй (расстояние между окружностями).
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $r$ и $R$ соответственно, а линия центров пересекает окружности соответственно в точках $A$ и $B$, причём $A$ и $B$ лежат между $O_{1}$ и $O_{2}$. Тогда, если $X$ и $Y$ - произвольные точки, лежащие соответственно на первой и второй окружности, то
$XO_{1}+XY+YO_{2}\leq O_{1}O_{2}=AO_{1}+AB+BO_{2},$
или
$r+XY+R\leq r+AB+R.$
Следовательно, $XY\leq AB=a-r-R$, причём равенство достигается только в случае, когда $X=A$ и $Y=B$.
