Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4253
2019-07-23 
На прямой, проходящей через центр $O$ окружности радиуса 12, взяты точки $A$ и $B$, причём $OA=15$, $AB=5$ и $A$ лежит между $O$ и $B$. Из точек $A$ и $B$ проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой $OB$. Найдите площадь треугольника $ABC$, где $C$ - точка пересечения этих касательных.
Решение:
Обозначим через $M$ и $N$ точки касания окружности с прямыми, проходящими через точки $A$ и $B$ соответственно, $\angle OAM=\alpha$, $\angle OBN=\beta$. Тогда
$\angle ACB=\alpha-\beta,~\frac{OM}{OA}=\sin\alpha,~\frac{ON}{OB}=\sin\beta.$
Поэтому
$\sin\alpha=\frac{4}{5},~\sin\beta=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{3}{5},~\cos\beta=\frac{4}{5}.$
По теореме синусов
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin(180^{\circ}-\alpha)}{\sin(\alpha-\beta)},~BC=\frac{AB\sin\alpha}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{AB\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}=\frac{5\cdot\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}}=\frac{100}{7}.$
Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot\frac{100}{7}\cdot\frac{3}{5}=\frac{150}{7}.$
На прямой, проходящей через центр $O$ окружности радиуса 12, взяты точки $A$ и $B$, причём $OA=15$, $AB=5$ и $A$ лежит между $O$ и $B$. Из точек $A$ и $B$ проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой $OB$. Найдите площадь треугольника $ABC$, где $C$ - точка пересечения этих касательных.
Решение:
Обозначим через $M$ и $N$ точки касания окружности с прямыми, проходящими через точки $A$ и $B$ соответственно, $\angle OAM=\alpha$, $\angle OBN=\beta$. Тогда
$\angle ACB=\alpha-\beta,~\frac{OM}{OA}=\sin\alpha,~\frac{ON}{OB}=\sin\beta.$
Поэтому
$\sin\alpha=\frac{4}{5},~\sin\beta=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{3}{5},~\cos\beta=\frac{4}{5}.$
По теореме синусов
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin(180^{\circ}-\alpha)}{\sin(\alpha-\beta)},~BC=\frac{AB\sin\alpha}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{AB\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}=\frac{5\cdot\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}}=\frac{100}{7}.$
Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot\frac{100}{7}\cdot\frac{3}{5}=\frac{150}{7}.$
