Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4250
2019-07-23 
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$, $O$ - центр описанной около $ABC$ окружности. Известно, что $\angle ABC=\beta$, а площадь четырёхугольника $NOMB$ равна $S$. Найдите $AC$.
Решение:
На касательной к описанной окружности данного треугольника отметим точку $P$ так, чтобы она и точка $C$ лежали по разные стороны от прямой $AB$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle ABP=\angle ACB=\angle BNM,$
поэтому $BP\parallel MN$, а т.к. $OB\perp BP$, то $OB\perp MN$. Треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ с коэффициентом $\cos\beta$, значит, $MN=AC\cos\beta$.
Пусть $OB=R$ - радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $OB=R=\frac{AC}{2\sin\beta}$. Следовательно,
$S=\frac{1}{2}MN\cdot OB=\frac{1}{2}AC\cos\beta\cdot\frac{AC}{2\sin\beta}=\frac{1}{4}AC^{2}ctg\beta.$
Отсюда находим, что $AC=2\sqrt{Stg\beta}$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$, $O$ - центр описанной около $ABC$ окружности. Известно, что $\angle ABC=\beta$, а площадь четырёхугольника $NOMB$ равна $S$. Найдите $AC$.
Решение:
На касательной к описанной окружности данного треугольника отметим точку $P$ так, чтобы она и точка $C$ лежали по разные стороны от прямой $AB$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle ABP=\angle ACB=\angle BNM,$
поэтому $BP\parallel MN$, а т.к. $OB\perp BP$, то $OB\perp MN$. Треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ с коэффициентом $\cos\beta$, значит, $MN=AC\cos\beta$.
Пусть $OB=R$ - радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $OB=R=\frac{AC}{2\sin\beta}$. Следовательно,
$S=\frac{1}{2}MN\cdot OB=\frac{1}{2}AC\cos\beta\cdot\frac{AC}{2\sin\beta}=\frac{1}{4}AC^{2}ctg\beta.$
Отсюда находим, что $AC=2\sqrt{Stg\beta}$.
