Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4249
2019-07-23 
Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна 4, сторона $AB$ равна $2\sqrt{19}$. Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла $C$. Найдите $AC$.
Решение:
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ - середины $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $O$ - центр данной окружности, $\angle ACB=\alpha$.
Поскольку $\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle ACB=\alpha$, треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ равен треугольнику $B_{1}A_{1}C$. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника $A_{1}B_{1}C$, равны.
Пусть прямая $OC$ пересекает вторую окружность в точке $M$. Тогда $MA_{1}=MB_{1}$ и $OA_{1}=OB_{1}$. Поэтому, если точки $O$ и $M$ не совпадают, то $OC\perp A_{1}B_{1}$, а т.к. $CO$ - биссектриса угла $ACB$, то $CA_{1}=CB_{1}$ и $AC=BC=4$. В этом случае
$AC+BC=4+4=8\lt2\sqrt{19}=AB,$
что невозможно. Значит, предположение о том, что точки $M$ и $O$ не совпадают, не верно.
Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда
$\angle A_{1}OB_{1}+\angle A_{1}CB_{1}=180^{\circ},$
т.е.
$2\alpha+\alpha=180^{\circ},~\alpha=60^{\circ}.$
Обозначим $AC=x$. Тогда по теореме косинусов
$x^{2}+16-4x=(2\sqrt{19})^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=10$.
Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна 4, сторона $AB$ равна $2\sqrt{19}$. Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла $C$. Найдите $AC$.
Решение:
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ - середины $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $O$ - центр данной окружности, $\angle ACB=\alpha$.
Поскольку $\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle ACB=\alpha$, треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ равен треугольнику $B_{1}A_{1}C$. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника $A_{1}B_{1}C$, равны.
Пусть прямая $OC$ пересекает вторую окружность в точке $M$. Тогда $MA_{1}=MB_{1}$ и $OA_{1}=OB_{1}$. Поэтому, если точки $O$ и $M$ не совпадают, то $OC\perp A_{1}B_{1}$, а т.к. $CO$ - биссектриса угла $ACB$, то $CA_{1}=CB_{1}$ и $AC=BC=4$. В этом случае
$AC+BC=4+4=8\lt2\sqrt{19}=AB,$
что невозможно. Значит, предположение о том, что точки $M$ и $O$ не совпадают, не верно.
Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда
$\angle A_{1}OB_{1}+\angle A_{1}CB_{1}=180^{\circ},$
т.е.
$2\alpha+\alpha=180^{\circ},~\alpha=60^{\circ}.$
Обозначим $AC=x$. Тогда по теореме косинусов
$x^{2}+16-4x=(2\sqrt{19})^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=10$.
