Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4241
2019-07-23 
На отрезке $AC$ дана точка $B$, причём $AB=14$, $BC=28$. На отрезках $AB$, $BC$, $AC$ как на диаметрах построены полуокружности в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей.
Решение:
Пусть точки $O_{1}$, $O_{2}$ и $O$ - центры данных полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, $x$ - радиус искомой окружности, $O_{3}$ - её центр. Тогда
$OO_{1}=14,~OO_{2}=7,~O_{1}O_{3}=7+x,~OO_{3}=21-x,~O_{2}O_{3}=14+x.$
По формуле Герона
$S_{\Delta OO_{1}O_{3}}=\sqrt{21\cdot7x(14-x)},~S_{\Delta OO_{2}O_{3}}=\sqrt{21\cdot14x(7-x)}.$
Поскольку
$\frac{S_{\Delta OO_{1}O_{3}}}{S_{\Delta OO_{2}O_{3}}}=\frac{OO_{1}}{OO_{2}}=2,$
то $\frac{\sqrt{14-x}}{\sqrt{2(7-x)}}=2$. Из этого уравнения находим, что $x=6$.
На отрезке $AC$ дана точка $B$, причём $AB=14$, $BC=28$. На отрезках $AB$, $BC$, $AC$ как на диаметрах построены полуокружности в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей.
Решение:
Пусть точки $O_{1}$, $O_{2}$ и $O$ - центры данных полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, $x$ - радиус искомой окружности, $O_{3}$ - её центр. Тогда
$OO_{1}=14,~OO_{2}=7,~O_{1}O_{3}=7+x,~OO_{3}=21-x,~O_{2}O_{3}=14+x.$
По формуле Герона
$S_{\Delta OO_{1}O_{3}}=\sqrt{21\cdot7x(14-x)},~S_{\Delta OO_{2}O_{3}}=\sqrt{21\cdot14x(7-x)}.$
Поскольку
$\frac{S_{\Delta OO_{1}O_{3}}}{S_{\Delta OO_{2}O_{3}}}=\frac{OO_{1}}{OO_{2}}=2,$
то $\frac{\sqrt{14-x}}{\sqrt{2(7-x)}}=2$. Из этого уравнения находим, что $x=6$.
