Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4240
2019-07-23 
На отрезке $AB$, равном $2R$, как диаметре построена окружность. Вторая окружность, радиус которой равен половине радиуса первой окружности, касается её внутренним образом в точке $A$. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности - внешним образом, а также касается отрезка $AB$. Найдите радиус третьей окружности.
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$ - центры первой, второй и третьей окружностей соответственно, $x$ - радиус третьей окружности, $M$ - её точка касания с отрезком $AB$. Тогда
$O_{1}M=\sqrt{OO^{2}-MO^{2}}=\sqrt{(R-x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{R^{2}-2Rx},$
$MO^{2}_{2}+MO^{2}_{3}=O_{2}O^{2}_{3},$
или
$\left(\frac{R}{2}+\sqrt{R^{2}-2Rx}\right)^{2}+x^{2}=\left(\frac{R}{2}+x\right)^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=\frac{4R}{9}$.
На отрезке $AB$, равном $2R$, как диаметре построена окружность. Вторая окружность, радиус которой равен половине радиуса первой окружности, касается её внутренним образом в точке $A$. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности - внешним образом, а также касается отрезка $AB$. Найдите радиус третьей окружности.
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$ - центры первой, второй и третьей окружностей соответственно, $x$ - радиус третьей окружности, $M$ - её точка касания с отрезком $AB$. Тогда
$O_{1}M=\sqrt{OO^{2}-MO^{2}}=\sqrt{(R-x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{R^{2}-2Rx},$
$MO^{2}_{2}+MO^{2}_{3}=O_{2}O^{2}_{3},$
или
$\left(\frac{R}{2}+\sqrt{R^{2}-2Rx}\right)^{2}+x^{2}=\left(\frac{R}{2}+x\right)^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=\frac{4R}{9}$.
