Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4239
2019-07-23 
На отрезке $AB$, равном $2R$, как на диаметре построена окружность. Вторая окружность того же радиуса, что и первая, имеет центр в точке $A$. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности - внешним образом, а также касается отрезка $AB$. Найдите радиус третьей окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр первой окружности, $O_{1}$ - центр третьей окружности, $M$ - её точка касания с прямой $AB$, $x$ - её радиус. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
$OO_{1}=R-x,~AO_{1}=R+x.$
По теореме Пифагора
$OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-MO_{1}^{2}}=\sqrt{R^{2}-2Rx},$
$AM^{2}+MO_{1}^{2}=AO_{1}^{2},$
или
$(R+\sqrt{R^{2}-2Rx})^{2}+x^{2}=(R+x)^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=\frac{R\sqrt{3}}{4}$.
На отрезке $AB$, равном $2R$, как на диаметре построена окружность. Вторая окружность того же радиуса, что и первая, имеет центр в точке $A$. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности - внешним образом, а также касается отрезка $AB$. Найдите радиус третьей окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр первой окружности, $O_{1}$ - центр третьей окружности, $M$ - её точка касания с прямой $AB$, $x$ - её радиус. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
$OO_{1}=R-x,~AO_{1}=R+x.$
По теореме Пифагора
$OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-MO_{1}^{2}}=\sqrt{R^{2}-2Rx},$
$AM^{2}+MO_{1}^{2}=AO_{1}^{2},$
или
$(R+\sqrt{R^{2}-2Rx})^{2}+x^{2}=(R+x)^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=\frac{R\sqrt{3}}{4}$.
