Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4238
2019-07-23 
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=2$ и $AD=10$ такова, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной окружности, т.е. расположен он внутри или вне её, или же на одной из сторон трапеции $ABCD$. Найдите также отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.
Решение:
Пусть $R$ и $r$ - радиусы вписанного и описанного кругов, $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на сторону $AD$. Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Тогда $AK=6$, $KD=4$, а т. к. $2\cdot CD=BC+AD$, то $CD=6$. Отсюда находим, что
$CK=2\sqrt{5},~AC=2\sqrt{14}.$
С помощью теоремы косинусов убеждаемся, что угол $\angle ACD$ тупой. Поэтому центр описанного круга лежит вне трапеции. Кроме того,
$\sin\angle D=\frac{CK}{CD}=\frac{\sqrt{5}}{3}.$
Поэтому
$R=\frac{AC}{2\sin\angle D}=\frac{3\sqrt{14}}{5},~r=\frac{1}{2}CK=\sqrt{5}.$
Следовательно,
$\frac{R}{r}=\frac{3\sqrt{14}}{5}.$
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=2$ и $AD=10$ такова, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной окружности, т.е. расположен он внутри или вне её, или же на одной из сторон трапеции $ABCD$. Найдите также отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.
Решение:
Пусть $R$ и $r$ - радиусы вписанного и описанного кругов, $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на сторону $AD$. Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Тогда $AK=6$, $KD=4$, а т. к. $2\cdot CD=BC+AD$, то $CD=6$. Отсюда находим, что
$CK=2\sqrt{5},~AC=2\sqrt{14}.$
С помощью теоремы косинусов убеждаемся, что угол $\angle ACD$ тупой. Поэтому центр описанного круга лежит вне трапеции. Кроме того,
$\sin\angle D=\frac{CK}{CD}=\frac{\sqrt{5}}{3}.$
Поэтому
$R=\frac{AC}{2\sin\angle D}=\frac{3\sqrt{14}}{5},~r=\frac{1}{2}CK=\sqrt{5}.$
Следовательно,
$\frac{R}{r}=\frac{3\sqrt{14}}{5}.$
