Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4237
2019-07-23 
Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна 12, а сторона стороны $AD$ равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $E$. Найдите отношение расстояния от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $AED$, к расстоянию от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $DEC$.
Решение:
По теореме Пифагора находим, что $AC=BD=13$. Из свойств прямоугольника следует, что $DE=AE=CE=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$.
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, вписанных в треугольники $AED$ и $CED$ соответственно, $M$ и $N$ - точки касания окружностей с отрезком $DE$, $P$ и $Q$ - середины $AD$ и $DC$ соответственно. Треугольники $AED$ и $CED$ равнобедренные, поэтому окружности касаются сторон $AD$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$. Обозначим $\angle NO_{2}E=\angle PED=\alpha$. Тогда
$\sin\alpha=\frac{DP}{DE}=\frac{5}{13},~\cos\alpha=\frac{12}{13},~tg\alpha=\frac{5}{12}.$
Пусть $p_{1}$ и $p_{2}$ - полупериметры треугольников $AED$ и $CED$. Тогда
$EM=p_{1}-AD=\frac{13}{2}+\frac{5}{2}-5=4,~EN=p_{2}-CD=\frac{13}{2}+6-12=\frac{1}{2}$
$EO_{1}=\frac{EM}{\cos\alpha},~EO_{2}=\frac{EN}{\sin\alpha}.$
Следовательно,
$\frac{EO_{1}}{EO_{2}}=\frac{\frac{EM}{\cos\alpha}}{\frac{EN}{\sin\alpha}}=\frac{EM}{EN}\cdot tg\alpha=8\cdot\frac{5}{12}=\frac{10}{3}.$
Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна 12, а сторона стороны $AD$ равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $E$. Найдите отношение расстояния от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $AED$, к расстоянию от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $DEC$.
Решение:
По теореме Пифагора находим, что $AC=BD=13$. Из свойств прямоугольника следует, что $DE=AE=CE=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$.
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, вписанных в треугольники $AED$ и $CED$ соответственно, $M$ и $N$ - точки касания окружностей с отрезком $DE$, $P$ и $Q$ - середины $AD$ и $DC$ соответственно. Треугольники $AED$ и $CED$ равнобедренные, поэтому окружности касаются сторон $AD$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$. Обозначим $\angle NO_{2}E=\angle PED=\alpha$. Тогда
$\sin\alpha=\frac{DP}{DE}=\frac{5}{13},~\cos\alpha=\frac{12}{13},~tg\alpha=\frac{5}{12}.$
Пусть $p_{1}$ и $p_{2}$ - полупериметры треугольников $AED$ и $CED$. Тогда
$EM=p_{1}-AD=\frac{13}{2}+\frac{5}{2}-5=4,~EN=p_{2}-CD=\frac{13}{2}+6-12=\frac{1}{2}$
$EO_{1}=\frac{EM}{\cos\alpha},~EO_{2}=\frac{EN}{\sin\alpha}.$
Следовательно,
$\frac{EO_{1}}{EO_{2}}=\frac{\frac{EM}{\cos\alpha}}{\frac{EN}{\sin\alpha}}=\frac{EM}{EN}\cdot tg\alpha=8\cdot\frac{5}{12}=\frac{10}{3}.$
