Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4235
2019-07-23 
В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен $R$ и $AB=2BC$.
Решение:
Первый способ. Обозначим $BC=x$. Тогда $AB=2x$. Пусть $O$ - центр описанной окружности, $K$ и $M$ - середины $AD$ и $DC$. Тогда
$OK=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2},~OM=\frac{1}{2}AB=x,$
$AD=2DK=\sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}},~CD=2MD=2\sqrt{R^{2}-x^{2}}.$
Поскольку $AB+CD=BC+AD$, то
$2x+2\sqrt{R^{2}-x^{2}}=x+2\sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}.$
Отсюда находим, что
$x=\frac{2R}{\sqrt{5}},~AB=\frac{4R}{\sqrt{5}},~AD=\frac{4R}{\sqrt{5}},~BC=\frac{2R}{\sqrt{5}},~CD=\frac{2R}{\sqrt{5}}.$
Поэтому $AC$ - биссектриса угла $BCD$ и $\angle ABC=90^{\circ}$. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника $ABC$, т. е. $\frac{8}{5}R^{2}$.
Второй способ. Обозначим $BC=x$, $AB=2x$, $AD=y$, $CD=z$. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда
$\begin{cases} x+y=2x+z\\x^{2}+y^{2}=4x^{2}+z^{2} \end{cases}~\Leftrightarrow~\begin{cases}x=y-z\\3x^{2}=y^{2}-z^{2} \end{cases}~\Leftrightarrow~ \begin{cases} x=y-z\\3x^{2}=(y-z)(y+z)\end{cases}~\Leftrightarrow~\Leftrightarrow~\begin{cases}x=y-z\\3x^{2}=x(y+z) \end{cases}\Leftrightarrow~\begin{cases} x=y-z\\3x=y+z \end{cases}~\Leftrightarrow~ \begin{cases} y=2x\\z=x. \end{cases}$
Поэтому $BC=DC$ и $BA=DA$, т.е. точки $A$ и $C$ равноудалены от концов отрезка $BD$. Значит, прямая $AC$ - серединный перпендикуляр к хорде $BD$ описанной окружности четырёхугольника $ABCD$. Следовательно, $AC$ - диаметр этой окружности, $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$.
По теореме Пифагора
$BC^{2}+AB^{2}=AC^{2}$, или $x^{2}+4x^{2}=4R^{2},$
откуда $x^{2}=\frac{4}{5}R^{2}$. Следовательно,
$S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=2\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AB=2x^{2}=\frac{8}{5}R^{2}.$
В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен $R$ и $AB=2BC$.
Решение:
Первый способ. Обозначим $BC=x$. Тогда $AB=2x$. Пусть $O$ - центр описанной окружности, $K$ и $M$ - середины $AD$ и $DC$. Тогда
$OK=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2},~OM=\frac{1}{2}AB=x,$
$AD=2DK=\sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}},~CD=2MD=2\sqrt{R^{2}-x^{2}}.$
Поскольку $AB+CD=BC+AD$, то
$2x+2\sqrt{R^{2}-x^{2}}=x+2\sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}.$
Отсюда находим, что
$x=\frac{2R}{\sqrt{5}},~AB=\frac{4R}{\sqrt{5}},~AD=\frac{4R}{\sqrt{5}},~BC=\frac{2R}{\sqrt{5}},~CD=\frac{2R}{\sqrt{5}}.$
Поэтому $AC$ - биссектриса угла $BCD$ и $\angle ABC=90^{\circ}$. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника $ABC$, т. е. $\frac{8}{5}R^{2}$.
Второй способ. Обозначим $BC=x$, $AB=2x$, $AD=y$, $CD=z$. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда
$\begin{cases} x+y=2x+z\\x^{2}+y^{2}=4x^{2}+z^{2} \end{cases}~\Leftrightarrow~\begin{cases}x=y-z\\3x^{2}=y^{2}-z^{2} \end{cases}~\Leftrightarrow~ \begin{cases} x=y-z\\3x^{2}=(y-z)(y+z)\end{cases}~\Leftrightarrow~\Leftrightarrow~\begin{cases}x=y-z\\3x^{2}=x(y+z) \end{cases}\Leftrightarrow~\begin{cases} x=y-z\\3x=y+z \end{cases}~\Leftrightarrow~ \begin{cases} y=2x\\z=x. \end{cases}$
Поэтому $BC=DC$ и $BA=DA$, т.е. точки $A$ и $C$ равноудалены от концов отрезка $BD$. Значит, прямая $AC$ - серединный перпендикуляр к хорде $BD$ описанной окружности четырёхугольника $ABCD$. Следовательно, $AC$ - диаметр этой окружности, $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$.
По теореме Пифагора
$BC^{2}+AB^{2}=AC^{2}$, или $x^{2}+4x^{2}=4R^{2},$
откуда $x^{2}=\frac{4}{5}R^{2}$. Следовательно,
$S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=2\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AB=2x^{2}=\frac{8}{5}R^{2}.$
