Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4234
2019-07-23 
В равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписана окружность, которая касается боковой стороны $AB$ в точке $M$. Через точку $M$ проведён перпендикуляр $ML$ к стороне $AC$ треугольника $ABC$ (точка $L$ - основание этого перпендикуляра). Найдите величину угла $BCA$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 1, а площадь четырёхугольника $LMBC$ равна $s$.
Решение:
Обозначим искомый угол через $\alpha$. Пусть $K$ - точка касания вписанной окружности со стороной $AC$. Тогда $K$ - середина $AC$. Треугольники $AML$ и $ABK$ подобны. Поэтому
$1-s=S_{\Delta AML}=\left(\frac{AL}{AK}\right)^{2}S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}\left(\frac{AL}{AM}\right)^{2}=\frac{1}{2}\cos^{2}\alpha.$
Следовательно, $\cos^{2}\alpha=2(1-s)$.
В равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписана окружность, которая касается боковой стороны $AB$ в точке $M$. Через точку $M$ проведён перпендикуляр $ML$ к стороне $AC$ треугольника $ABC$ (точка $L$ - основание этого перпендикуляра). Найдите величину угла $BCA$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 1, а площадь четырёхугольника $LMBC$ равна $s$.
Решение:
Обозначим искомый угол через $\alpha$. Пусть $K$ - точка касания вписанной окружности со стороной $AC$. Тогда $K$ - середина $AC$. Треугольники $AML$ и $ABK$ подобны. Поэтому
$1-s=S_{\Delta AML}=\left(\frac{AL}{AK}\right)^{2}S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}\left(\frac{AL}{AM}\right)^{2}=\frac{1}{2}\cos^{2}\alpha.$
Следовательно, $\cos^{2}\alpha=2(1-s)$.
