Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4233
2019-07-23 
Через точку $A$ окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $AC$. Вычислите радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если $AB=16$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр искомой окружности, $x$ - её радиус, $M$ и $N$ - точки касания с хордами $AB$ и $AC$, $O$ - центр данной окружности, $K$ - середина $AB$.
Из прямоугольного треугольника $ABC$ находим, что $AC=12$. Обозначим $AM=AN=x$. Тогда стороны прямоугольной трапеции $OO_{1}MK$ равны:
$MO_{1}=AN=x,~OK=\frac{1}{2}AC=6,~MK=|AM-AK|=|8-x|,~OO_{1}=10-x.$
По теореме Пифагора
$(6-x)^{2}+(8-x)^{2}=(10-x)^{2}.$
Отсюда находим, что $x=8$.
Через точку $A$ окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $AC$. Вычислите радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если $AB=16$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр искомой окружности, $x$ - её радиус, $M$ и $N$ - точки касания с хордами $AB$ и $AC$, $O$ - центр данной окружности, $K$ - середина $AB$.
Из прямоугольного треугольника $ABC$ находим, что $AC=12$. Обозначим $AM=AN=x$. Тогда стороны прямоугольной трапеции $OO_{1}MK$ равны:
$MO_{1}=AN=x,~OK=\frac{1}{2}AC=6,~MK=|AM-AK|=|8-x|,~OO_{1}=10-x.$
По теореме Пифагора
$(6-x)^{2}+(8-x)^{2}=(10-x)^{2}.$
Отсюда находим, что $x=8$.
