Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4232
2019-07-23 
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Известно, что отрезок $OE=1$, а вершина $C$ лежит на окружности, проходящей через точки $E$, $D$ и $O$. Найдите стороны и углы треугольника $EDO$.
Решение:
Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то $CO$ - биссектриса угла $ACB$. Поэтому $OD=OE=1$.
Обозначим $\angle ACB=\alpha$. Тогда
$\angle DOE=\angle AOB=180^{\circ}-\angle OAB-\angle OBA=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A-\frac{1}{2}\angle B=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.$
Поскольку четырёхугольник $CEOD$ - вписанный, то
$\angle ECD+\angle DOE=180^{\circ}$, или $\alpha+\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}.$
Отсюда находим, что $\alpha=60^{\circ}$. Следовательно,
$\angle DOE=120^{\circ},~\angle DEO=\angle EDO=30^{\circ},~DE=\sqrt{3}.$
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Известно, что отрезок $OE=1$, а вершина $C$ лежит на окружности, проходящей через точки $E$, $D$ и $O$. Найдите стороны и углы треугольника $EDO$.
Решение:
Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то $CO$ - биссектриса угла $ACB$. Поэтому $OD=OE=1$.
Обозначим $\angle ACB=\alpha$. Тогда
$\angle DOE=\angle AOB=180^{\circ}-\angle OAB-\angle OBA=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A-\frac{1}{2}\angle B=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.$
Поскольку четырёхугольник $CEOD$ - вписанный, то
$\angle ECD+\angle DOE=180^{\circ}$, или $\alpha+\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}.$
Отсюда находим, что $\alpha=60^{\circ}$. Следовательно,
$\angle DOE=120^{\circ},~\angle DEO=\angle EDO=30^{\circ},~DE=\sqrt{3}.$
