Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4231
2019-07-23 
Радиус $OM$ окружности с центром в точке $O$ и хорда $KQ$ пересекаются в точке $A$. Отрезки $OM$ и $OA$ равны соответственно $r$ и $a$, $\angle KAM=\alpha$ ($\alpha\lt90^{\circ}$). Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AK$, $AM$ и дуги $MK$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр искомой окружности, $P$ - её точка касания с отрезком $AM$, $x$ - её радиус. Тогда
$OP=OA+AP=OA+PO_{1}ctg\frac{\alpha}{2}=a+xctg\frac{\alpha}{2},$
$OO_{1}=r-x.$
$B$ прямоугольном треугольнике $OPO_{1}$ известно, что
$OO^{2}_{1}=OP^{2}+PO^{2}_{1}$, или $(r-x)^{2}=\left(a+xctg\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+x^{2}.$
Положительный корень этого уравнения и есть искомый радиус.
Радиус $OM$ окружности с центром в точке $O$ и хорда $KQ$ пересекаются в точке $A$. Отрезки $OM$ и $OA$ равны соответственно $r$ и $a$, $\angle KAM=\alpha$ ($\alpha\lt90^{\circ}$). Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AK$, $AM$ и дуги $MK$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр искомой окружности, $P$ - её точка касания с отрезком $AM$, $x$ - её радиус. Тогда
$OP=OA+AP=OA+PO_{1}ctg\frac{\alpha}{2}=a+xctg\frac{\alpha}{2},$
$OO_{1}=r-x.$
$B$ прямоугольном треугольнике $OPO_{1}$ известно, что
$OO^{2}_{1}=OP^{2}+PO^{2}_{1}$, или $(r-x)^{2}=\left(a+xctg\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+x^{2}.$
Положительный корень этого уравнения и есть искомый радиус.
