Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4230
2019-07-23 
Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом 2. Из конца отрезка $OA$, пересекающегося с окружностью в точке $M$, проведена касательная $AK$ к окружности, $\angle OAK=60^{\circ}$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AK,AM$ и дуги $MK$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр искомой окружности, $F$ - точка касания окружности с отрезком $AM$, $P$ - с дугой $MK$, $x$ - искомый радиус. Тогда
$OF=OA-AF=\frac{OK}{\sin60^{\circ}}-FO_{1}ctg30^{\circ}=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{3x}{\sqrt{3}}=\frac{4-3x}{\sqrt{3}},$
$OO_{1}=OP+PO_{1}=2+x.$
В прямоугольном треугольнике $OFO_{1}$ имеем:
$OO^{2}_{1}=OF^{2}+O_{1}F^{2}$, или $(2+x)^{2}=\frac{(4-3x)^{2}}{3}+x^{2}.$
Из этого уравнения находим, что
$x=2-\frac{4}{3}\sqrt{2}$ или $x=2+\frac{4}{3}\sqrt{2}.$
Поскольку $2+\frac{4}{3}\sqrt{2}\gt2$, то условию задачи удовлетворяет только первый корень.
Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом 2. Из конца отрезка $OA$, пересекающегося с окружностью в точке $M$, проведена касательная $AK$ к окружности, $\angle OAK=60^{\circ}$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AK,AM$ и дуги $MK$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ - центр искомой окружности, $F$ - точка касания окружности с отрезком $AM$, $P$ - с дугой $MK$, $x$ - искомый радиус. Тогда
$OF=OA-AF=\frac{OK}{\sin60^{\circ}}-FO_{1}ctg30^{\circ}=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{3x}{\sqrt{3}}=\frac{4-3x}{\sqrt{3}},$
$OO_{1}=OP+PO_{1}=2+x.$
В прямоугольном треугольнике $OFO_{1}$ имеем:
$OO^{2}_{1}=OF^{2}+O_{1}F^{2}$, или $(2+x)^{2}=\frac{(4-3x)^{2}}{3}+x^{2}.$
Из этого уравнения находим, что
$x=2-\frac{4}{3}\sqrt{2}$ или $x=2+\frac{4}{3}\sqrt{2}.$
Поскольку $2+\frac{4}{3}\sqrt{2}\gt2$, то условию задачи удовлетворяет только первый корень.
