Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4226
2019-07-23 
Дан ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба или её продолжения.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, проходящей через вершины $A$ и $B$ ромба $ABCD$ ($\angle A=\alpha$) и касающейся прямой $DC$ в точке $M$, $K$ - середина $AB$. Тогда $MK=a\sin\alpha$.
Обозначим $\angle MAB=\beta$. Тогда
$tg\beta=\frac{KM}{AK}=\frac{a\sin\alpha}{\frac{a}{2}}=2\sin\alpha,~AM=\frac{AK}{\cos\beta}=\frac{a}{2\cos\beta}.$
Отсюда находим, что
$R=\frac{AM}{2\sin\beta}=\frac{a}{4\sin\beta\cos\beta}=\frac{a}{2\sin2\beta},$
а т.к.
$\sin2\beta=\frac{2tg\beta}{1+tg^{2}\beta}=\frac{4\sin\alpha}{1+4\sin^{2}\alpha},$
то
$R=\frac{a(1+4\sin^{2}\alpha)}{8\sin\alpha}.$
Дан ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба или её продолжения.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, проходящей через вершины $A$ и $B$ ромба $ABCD$ ($\angle A=\alpha$) и касающейся прямой $DC$ в точке $M$, $K$ - середина $AB$. Тогда $MK=a\sin\alpha$.
Обозначим $\angle MAB=\beta$. Тогда
$tg\beta=\frac{KM}{AK}=\frac{a\sin\alpha}{\frac{a}{2}}=2\sin\alpha,~AM=\frac{AK}{\cos\beta}=\frac{a}{2\cos\beta}.$
Отсюда находим, что
$R=\frac{AM}{2\sin\beta}=\frac{a}{4\sin\beta\cos\beta}=\frac{a}{2\sin2\beta},$
а т.к.
$\sin2\beta=\frac{2tg\beta}{1+tg^{2}\beta}=\frac{4\sin\alpha}{1+4\sin^{2}\alpha},$
то
$R=\frac{a(1+4\sin^{2}\alpha)}{8\sin\alpha}.$
