Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4224
2019-07-23 
Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 и 12.
Решение:
Пусть центр $O$ окружности лежит на гипотенузе $AB$, $BC=5$, $AC=12$. Поскольку $AB=\sqrt{25+144}=13$, то $\cos\angle ABC=\frac{5}{13}$.
Если $K$ - точка касания окружности с катетом $AC$, то
$OK=AO\cos\angle ABC,~\mbox{или}~R=\frac{5(13-R)}{13},$
где $R$ - искомый радиус. Отсюда находим, что $R=\frac{65}{18}$. (Это же уравнение можно получить, рассматривая подобные треугольники $AKO$ и $ACB$.)
Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 и 12.
Решение:
Пусть центр $O$ окружности лежит на гипотенузе $AB$, $BC=5$, $AC=12$. Поскольку $AB=\sqrt{25+144}=13$, то $\cos\angle ABC=\frac{5}{13}$.
Если $K$ - точка касания окружности с катетом $AC$, то
$OK=AO\cos\angle ABC,~\mbox{или}~R=\frac{5(13-R)}{13},$
где $R$ - искомый радиус. Отсюда находим, что $R=\frac{65}{18}$. (Это же уравнение можно получить, рассматривая подобные треугольники $AKO$ и $ACB$.)
