Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4223
2019-07-23 
В круге с центром $O$ хорда $AB$ пересекает радиус $OC$ в точке $D$, причём $\angle CDA=120^{\circ}$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AD$, $DC$ и дуги $AC$, если $OC=2$, $OD=\sqrt{3}$.
Решение:
Пусть $x$ - радиус искомой окружности, $O_{1}$ - её центр, $M$ - точка касания с отрезком $DC$. В прямоугольном треугольнике $OO_{1}M$ известно, что
$O_{1}M=x,~OM=OD+DM=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{3}},~OO_{1}=2-x.$
По теореме Пифагора
$OO^{2}_{1}=OM^{2}+O_{1}M^{2},~\mbox{или}~(2-x)^{2}=\left(\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}+x^{2}.$
Отсюда находим, что $x=2\sqrt{21}-9$.
В круге с центром $O$ хорда $AB$ пересекает радиус $OC$ в точке $D$, причём $\angle CDA=120^{\circ}$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AD$, $DC$ и дуги $AC$, если $OC=2$, $OD=\sqrt{3}$.
Решение:
Пусть $x$ - радиус искомой окружности, $O_{1}$ - её центр, $M$ - точка касания с отрезком $DC$. В прямоугольном треугольнике $OO_{1}M$ известно, что
$O_{1}M=x,~OM=OD+DM=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{3}},~OO_{1}=2-x.$
По теореме Пифагора
$OO^{2}_{1}=OM^{2}+O_{1}M^{2},~\mbox{или}~(2-x)^{2}=\left(\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}+x^{2}.$
Отсюда находим, что $x=2\sqrt{21}-9$.
