Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4221
2019-07-23 
На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным вне данного угла, касается биссектрисы прямого угла, пересекает одну из его сторон в точках $A$ и $B$ и пересекает продолжение другой стороны в точках $C$ и $D$. Хорда $AB$ равна $\sqrt{7}$, хорда $CD$ равна 1. Найдите радиус окружности.
Решение:
Пусть $K$ - вершина данного прямого угла, $M$ - точка касания с биссектрисой, $O$ - центр окружности, $P$ и $Q$ - проекции точки $O$ на $AB$ и $CD$, $L$ - точка пересечения $OM$ и $AB$. Обозначим искомый радиус через $x$. Тогда
$OQ=\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}},~LP=OP=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}},$
$KL=\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},$
$OQ=PK=PL+KL=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}}+\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},$
или
$\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}}+\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},$
или
$\sqrt{4x^{2}-1}+\sqrt{4x^{2}-7}=2\sqrt{2}x.$
Отсюда находим, что $x=\frac{3}{2}$.
На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным вне данного угла, касается биссектрисы прямого угла, пересекает одну из его сторон в точках $A$ и $B$ и пересекает продолжение другой стороны в точках $C$ и $D$. Хорда $AB$ равна $\sqrt{7}$, хорда $CD$ равна 1. Найдите радиус окружности.
Решение:
Пусть $K$ - вершина данного прямого угла, $M$ - точка касания с биссектрисой, $O$ - центр окружности, $P$ и $Q$ - проекции точки $O$ на $AB$ и $CD$, $L$ - точка пересечения $OM$ и $AB$. Обозначим искомый радиус через $x$. Тогда
$OQ=\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}},~LP=OP=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}},$
$KL=\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},$
$OQ=PK=PL+KL=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}}+\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},$
или
$\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}}+\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},$
или
$\sqrt{4x^{2}-1}+\sqrt{4x^{2}-7}=2\sqrt{2}x.$
Отсюда находим, что $x=\frac{3}{2}$.
