Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4220
2019-07-23 
Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках $A$ и $B$ и пересекает биссектрису угла в точках $C$ и $D$. Хорда $AB$ равна $\sqrt{6}$, хорда $CD$ равна $\sqrt{7}$. Найдите радиус окружности.
Решение:
Пусть $K$ - вершина данного прямого угла, $M$ - точка касания, $O$ - центр окружности, $x$ - её радиус, $P$ и $Q$ - основания перпендикуляров, опущенных из $O$ на $AB$ и $CD$, $F$ - точка пересечения $OM$ и $CD$. Тогда
$MK=OP=\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}},~OQ=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}},$
$MK=MF=MO-OF=MO-OQ\sqrt{2},$
или
$\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}=x-\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}}.$
Запишем это уравнение в виде
$x-\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}=\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}}.$
Отсюда находим, что $x=\sqrt{2}$.
Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках $A$ и $B$ и пересекает биссектрису угла в точках $C$ и $D$. Хорда $AB$ равна $\sqrt{6}$, хорда $CD$ равна $\sqrt{7}$. Найдите радиус окружности.
Решение:
Пусть $K$ - вершина данного прямого угла, $M$ - точка касания, $O$ - центр окружности, $x$ - её радиус, $P$ и $Q$ - основания перпендикуляров, опущенных из $O$ на $AB$ и $CD$, $F$ - точка пересечения $OM$ и $CD$. Тогда
$MK=OP=\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}},~OQ=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}},$
$MK=MF=MO-OF=MO-OQ\sqrt{2},$
или
$\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}=x-\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}}.$
Запишем это уравнение в виде
$x-\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}=\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}}.$
Отсюда находим, что $x=\sqrt{2}$.
