Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4218
2019-07-23 
В треугольник $ABC$ помещены три равных окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $R$ и $r$.
Решение:
Первый способ. Пусть $x$ - искомый радиус. Обозначим, $BC=a$, $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$, $\angle C=\gamma$, $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$ - центры указанных равных окружностей, вписанных в углы $A$, $B$ и $C$ соответственно, $M$ - общая точка этих окружностей.
Поскольку $x$ - радиус окружности, описанной около треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$, то
$O_{2}O_{3}=2x\sin\angle O_{2}O_{1}O_{3}=2x\sin\alpha,~a=2R\sin\alpha,$
$\sin\alpha=\frac{a}{2R},~O_{2}O_{3}=\frac{ax}{R}.$
С другой стороны,
$xctg\frac{\beta}{2}+xctg\frac{\gamma}{2}+O_{2}O_{3}=a,$
$rctg\frac{\beta}{2}+rctg\frac{\gamma}{2}=a,~\mbox{или}~ctg\frac{\beta}{2}+ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{a}{r}.$
Поэтому $\frac{ax}{r}+\frac{ax}{R}=a$. Следовательно, $x=\frac{rR}{r+R}$.
Второй способ. Будем считать известным, что $O_{2}O_{3}=\frac{ax}{R}$ (см. первый способ).
Лучи $BO_{2}$ и $CO_{3}$ пересекаются в центре $O$ вписанной окружности треугольника $ABC$. Высоты подобных треугольников $OO_{2}O_{3}$ и $OBC$, проведённые из общей вершины $O$, относятся как основания этих треугольников. Поэтому
$\frac{r-x}{r}=\frac{O_{2}O_{3}}{a}=\frac{x}{R}.$
Отсюда находим, что $x=\frac{rR}{R+r}$.
В треугольник $ABC$ помещены три равных окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $R$ и $r$.
Решение:
Первый способ. Пусть $x$ - искомый радиус. Обозначим, $BC=a$, $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$, $\angle C=\gamma$, $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$ - центры указанных равных окружностей, вписанных в углы $A$, $B$ и $C$ соответственно, $M$ - общая точка этих окружностей.
Поскольку $x$ - радиус окружности, описанной около треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$, то
$O_{2}O_{3}=2x\sin\angle O_{2}O_{1}O_{3}=2x\sin\alpha,~a=2R\sin\alpha,$
$\sin\alpha=\frac{a}{2R},~O_{2}O_{3}=\frac{ax}{R}.$
С другой стороны,
$xctg\frac{\beta}{2}+xctg\frac{\gamma}{2}+O_{2}O_{3}=a,$
$rctg\frac{\beta}{2}+rctg\frac{\gamma}{2}=a,~\mbox{или}~ctg\frac{\beta}{2}+ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{a}{r}.$
Поэтому $\frac{ax}{r}+\frac{ax}{R}=a$. Следовательно, $x=\frac{rR}{r+R}$.
Второй способ. Будем считать известным, что $O_{2}O_{3}=\frac{ax}{R}$ (см. первый способ).
Лучи $BO_{2}$ и $CO_{3}$ пересекаются в центре $O$ вписанной окружности треугольника $ABC$. Высоты подобных треугольников $OO_{2}O_{3}$ и $OBC$, проведённые из общей вершины $O$, относятся как основания этих треугольников. Поэтому
$\frac{r-x}{r}=\frac{O_{2}O_{3}}{a}=\frac{x}{R}.$
Отсюда находим, что $x=\frac{rR}{R+r}$.
