Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4217
2019-07-23 
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность радиуса $R$, пересекаются под прямым углом в точке $P$, удалённой на расстояние $d$ от центра окружности. Докажите, что $AC^{2}+BD^{2}=8R^{2}-4d^{2}$.
Решение:
Воспользуемся следующими утверждениями.
1. $AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}$.
2. $AP\cdot PC=BP\cdot PD=R^{2}-d^{2}$
Тогда
$AC^{2}+BD^{2}=(AP+PC)^{2}+(BP+PD)^{2}=AP^{2}+2AP\cdot PC+PC^{2}+BP^{2}+2BP\cdot PD+PD^{2}=(AP^{2}+BP^{2})+(PC^{2}+PD^{2})+2(AP\cdot PC+BP\cdot PD)=AB^{2}+CD^{2}+4AP\cdot PC=4R^{2}+4(R^{2}-d^{2})=8R^{2}-4d^{2}.$
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность радиуса $R$, пересекаются под прямым углом в точке $P$, удалённой на расстояние $d$ от центра окружности. Докажите, что $AC^{2}+BD^{2}=8R^{2}-4d^{2}$.
Решение:
Воспользуемся следующими утверждениями.
1. $AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}$.
2. $AP\cdot PC=BP\cdot PD=R^{2}-d^{2}$
Тогда
$AC^{2}+BD^{2}=(AP+PC)^{2}+(BP+PD)^{2}=AP^{2}+2AP\cdot PC+PC^{2}+BP^{2}+2BP\cdot PD+PD^{2}=(AP^{2}+BP^{2})+(PC^{2}+PD^{2})+2(AP\cdot PC+BP\cdot PD)=AB^{2}+CD^{2}+4AP\cdot PC=4R^{2}+4(R^{2}-d^{2})=8R^{2}-4d^{2}.$
