Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4216
2019-07-23 
Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса $R$, а две другие - на касательной к этой окружности. Найдите диагонали квадрата.
Решение:
Пусть $A$ и $B$ - вершины квадрата $ABCD$, лежащие на окружности радиуса $R$ и центром $O$, $D$ и $C$ - на касательной, проведённой к окружности в точке $K$, $M$ - точка пересечения окружности со стороной $AD$. Поскольку $\angle BAM=90^{\circ}$, то $MB$ - диаметр окружности, а т.к. $OK$ - средняя линия трапеции $MDCB$, то $\frac{MD+BC}{2}=OK$.
Обозначим через $x$ сторону квадрата. Из уравнения $\frac{MD+x}{2}=R$ находим, что $MD=2R-x$. Тогда
$AM=x-(2R-x)=2x-2R.$
По теореме Пифагора
$AB^{2}+AM^{2}=BM^{2},~\mbox{или}~x^{2}+(2x-2R)^{2}=4R^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=\frac{8R}{5}$. Следовательно, диагональ квадрата равна $\frac{8R\sqrt{2}}{5}$.
Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса $R$, а две другие - на касательной к этой окружности. Найдите диагонали квадрата.
Решение:
Пусть $A$ и $B$ - вершины квадрата $ABCD$, лежащие на окружности радиуса $R$ и центром $O$, $D$ и $C$ - на касательной, проведённой к окружности в точке $K$, $M$ - точка пересечения окружности со стороной $AD$. Поскольку $\angle BAM=90^{\circ}$, то $MB$ - диаметр окружности, а т.к. $OK$ - средняя линия трапеции $MDCB$, то $\frac{MD+BC}{2}=OK$.
Обозначим через $x$ сторону квадрата. Из уравнения $\frac{MD+x}{2}=R$ находим, что $MD=2R-x$. Тогда
$AM=x-(2R-x)=2x-2R.$
По теореме Пифагора
$AB^{2}+AM^{2}=BM^{2},~\mbox{или}~x^{2}+(2x-2R)^{2}=4R^{2}.$
Из этого уравнения находим, что $x=\frac{8R}{5}$. Следовательно, диагональ квадрата равна $\frac{8R\sqrt{2}}{5}$.
